Question

Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка К так, что АК = 6 см, КС = 9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ = 13 см, ВС = 14 см Помогите пожалуйста, всю голову уже сломала. Теорему Герона мы еще не проходили.

Answer 1

АК=6, КС=9, значит АС=в=15, АВ=с=13, ВС=а=14 
периметр Р=13+14+15=42 
полупериметр р=42:2=21 
площадь АВС можно найти по формуле Герона 
S=корень квадратный из р (р-а) (р-в) (р-с) =кор. квадрат. из 21(21-14)(21-15)(21-13)= кор. квадр. из 21*7*6*8= кор. квадр. из 7056=84 
S=84 
Площадь АВС также можно найти по формуле 
S=1/2(h*в) =84 
h*в=168 
h=168:15 
h=11,2 
AK=k=6 площадь АВК=S1=1/2(h*k)=(1/2)*11,2*6=11,2*3=33,6 
КС=m=9 площадь СВК=S2=1/2(h*m)=(1/2)*11,2*9=11,2*4,5=50,4 
площадь АВК=33,6 
площадь СВК=50,4

Answer 2

Для нахождения площадей треугольников АВК и СВК можно использовать формулу площади треугольника через высоту:

S = 0.5 * a * h

где S - площадь треугольника, a - длина основания треугольника, h - высота, опущенная на это основание.

В треугольнике АВС, основанием для треугольника АВК является сторона АВ, а высотой будет отрезок, проведенный из вершины К к основанию АВ. Определим высоту треугольника АВК.

Заметим, что треугольники АКС и АКВ являются подобными, так как углы при вершине А равны между собой из-за равенства сторон (АК = АК). Также угол ВАК равен углу САК, поскольку сторона АК общая, а углы при вершине В и С - прямые. Из подобия треугольников АКС и АКВ следует, что отрезок ВК равен отрезку КС - ВК = КС = 9 см.

Таким образом, получаем основание для треугольника АВК - отрезок ВК = 9 см. Теперь нам нужно найти высоту треугольника АВК, а затем можно будет рассчитать его площадь.

Обозначим высоту треугольника АВК как h_1. Проведем отрезок из вершины В перпендикулярно к основанию АВ. Получим прямоугольный треугольник ВКВ1, где В1 - середина стороны АС. Длина стороны В1К равна половине стороны АС: В1К = 0.5 * 14 см = 7 см.

Используя теорему Пифагора, получаем:

h_1^2 = ВВ1^2 - КВ1^2 h_1^2 = 9^2 - 7^2 h_1^2 = 81 - 49 h_1^2 = 32 h_1 = √32 ≈ 5.656 см

Теперь мы знаем, что АВ = 13 см и h_1 = 5.656 см. Подставим эти значения в формулу площади треугольника АВК:

S_АВК = 0.5 * АВ * h_1 S_АВК = 0.5 * 13 см * 5.656 см S_АВК ≈ 37.184 см² (округляем до трех знаков после запятой)

Точно таким же образом можно найти основание треугольника СВК и его высоту. Для этого проведем отрезок из вершины С перпендикулярно к основанию ВС. Получим прямоугольный треугольник СКС1, где С1 - середина стороны АВ. Длина стороны С1К равна половине стороны АВ: С1К = 0.5 * 13 см = 6.5 см.

Используя теорему Пифагора, получаем:

h_2^2 = СС1^2 - КС1^2 h_2^2 = 9^2 - 6.5^2 h_2^2 = 81 - 42.25 h_2^2 = 38.75 h_2 = √38.75 ≈ 6.224 см

Теперь мы знаем, что ВС = 14 см и h_2 = 6.224 см. Подставим эти значения в формулу площади треугольника СВК:

S_СВК = 0.5 * ВС * h_2 S_СВК = 0.5 * 14 см * 6.224 см S_СВК ≈ 43.712 см² (округляем до трех знаков после запятой)

Таким образом, площади треугольников АВК и СВК при заданных размерах равны соответственно 37.184 см² и 43.712 см².