Question

Найти значение dy/dx в точке М(x0,y0) для функций, заданных неявно. 5x2 + 3xy – 2y2 + 2 = 0, M (0; 1)

Answer 1

Продифференцируем данное тождество, считая икс - независимой переменной, а игрек - функцией от икс, y=y(x), тогда имеем
10x + 3*(y + x*(dy/dx)) - 4*y*(dy/dx) = 0,
10x + 3y + (dy/dx)*(3x - 4y) = 0,
(dy/dx) = (10x+3y)/(4y-3x),
M(0;1), т.е это точка, которой x=0; y=1;
(dy/dx) в указанной точке M = (10*0 + 3*1)/(4*1 - 3*0) = 3/4 = 0,75

Answer 2

Для нахождения значения dy/dx в точке M(x0,y0) для функций, заданных неявно, мы сначала найдем значение y' в этой точке, а затем подставим найденные значения в уравнение, описывающее функцию.

Для начала, найдем значение y' в точке M(x0,y0) путем взятия производной от уравнения по x и решим относительно y'. В нашем случае, уравнение имеет вид:

5x^2 + 3xy - 2y^2 + 2 = 0

Продифференцируем это уравнение по x:

d/dx [5x^2 + 3xy - 2y^2 + 2] = 0

10x + 3y + 3xy' - 4yy' = 0

Теперь мы можем решить это уравнение относительно y':

3xy' - 4yy' = -10x - 3y

y'(3x - 4y) = -10x - 3y

y' = (-10x - 3y)/(3x - 4y)

Теперь, чтобы найти значение y' в точке M(x0,y0), заменим x и y на их соответствующие значения:

y' = (-10x0 - 3y0)/(3x0 - 4y0)

Для нашего примера, точка M(0,1), получаем:

y' = (-10(0) - 3(1))/(3(0) - 4(1)) = -3/-4 = 3/4

Таким образом, получаем значение y' в точке M(0,1) равное 3/4.