Question

Неопределенный интеграл

Answer 1

Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции

Answer 2

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл является одной из основных концепций математического анализа. Он представляет собой обратную операцию к дифференцированию и позволяет найти функцию, производная которой равна заданной функции.

Неопределенный интеграл обозначается символом ∫ и записывается в следующем виде:

∫ f(x) dx,

где f(x) - подынтегральная функция, а dx - дифференциал переменной x.

Результатом неопределенного интеграла является семейство функций, отличающихся на константу. Это связано с тем, что производная постоянной равна нулю, и поэтому неопределенный интеграл не может определить конкретное значение функции, а только её класс эквивалентности.

Примеры неопределенных интегралов

1. ∫ x^2 dx = (1/3) x^3 + C, где C - произвольная постоянная. 2. ∫ (x^2 + 2x + 1) ln x dx = (1/3) x^3 ln x - (1/9) x^3 + (2/3) x^2 ln x + C. 3. ∫ sin x dx = -cos x + C, где C - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1. Линейность: ∫ (a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx, где a и b - произвольные константы. 2. Интегрирование по частям: ∫ u dv = u v - ∫ v du, где u и v - функции переменной x. 3. Замена переменной: Если x = g(t) и f(g(t)) g'(t) dt = f(x) dx, то ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt.

Заключение

Неопределенный интеграл является важным инструментом математического анализа и позволяет находить функции, производные которых равны заданной функции. Он имеет свои свойства, которые позволяют упрощать вычисления и решать различные задачи.