Question

при каких значениях b функция y=-x^3-6bx убывает на всей числовой прямой

Answer 1

Найдем первую производную

y`=-3x^2-6b

-3x^2-6b<0

x^2=-2b

x>sqrt(-2b)

x<-sqrt(-2b)

 

sqrt(-2b)=-sqrt(-2b)

b=0

Answer 2

Для определения того, при каких значениях параметра \( b \) функция \( y = -x^3 - 6bx \) убывает на всей числовой прямой, нужно проанализировать производную этой функции и выяснить интервалы, на которых она отрицательна.

1. Найдем производную функции \( y = -x^3 - 6bx \): \[ y' = -3x^2 - 6b \]

2. Уравнение \( y' = 0 \) дает точки, в которых производная равна нулю: \[ -3x^2 - 6b = 0 \] \[ x^2 = -2b \]

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, у нас нет критических точек.

3. Изучим знак производной на интервалах между возможными критическими точками (которых у нас нет) и на краях числовой прямой.

- Рассмотрим интервал \( (-\infty, -\sqrt{-2b}) \): Подставим в производную точку, например, \( x = -3 \) (любое число меньше \( -\sqrt{-2b} \)): \[ y' = -3(-3)^2 - 6b = -3(9) - 6b = -27 - 6b \] Так как \( b \) является параметром, необходимо рассмотреть два случая: - Если \( b > 0 \), то \( -27 - 6b < 0 \) и производная отрицательна. - Если \( b < 0 \), то \( -27 - 6b > 0 \) и производная положительна.

- Рассмотрим интервал \( (-\sqrt{-2b}, \infty) \): Подставим в производную точку, например, \( x = -1 \) (любое число больше \( -\sqrt{-2b} \)): \[ y' = -3(-1)^2 - 6b = -3 - 6b \] Так как \( b \) является параметром, необходимо рассмотреть два случая: - Если \( b > 0 \), то \( -3 - 6b < 0 \) и производная отрицательна. - Если \( b < 0 \), то \( -3 - 6b > 0 \) и производная положительна.

Итак, на всей числовой прямой функция \( y = -x^3 - 6bx \) убывает при \( b > 0 \).