Question

Докажите что 3*2007+7*2007 делится на 37.

Answer 1

Если 2007 - это показатель степени, то я буду писать 3^2007 и 7^2007
3^4 = 81 = 2*37 + 7 ≡ 7 (mod 37)
7^3 = 343 = 9*37 + 10 ≡ 10 (mod 37)
Эта запись означает "сравнима по модулю", то "имеет такой же остаток при делении на 37".
3^2007 = 3^2004*3^3 = (3^4)^501*3^3 ≡ 7^501*27 (mod 37) = (7^3)^167*27 = 10^167*27
7^2007 = (7^3)^669 ≡ 10^669 (mod 37)
Дальше
10^3 = 27*37 + 1 ≡ 1 (mod 37)
10^167*27 = (10^3)^55*10^2*27 ≡ 1^55*100*27 (mod 37) = 2700
10^669 = (10^3)^223 ≡ 1^223 (mod 37) = 1
Теперь складываем
2700 + 1 = 2701 = 37*73 ≡ 0 (mod 37)
Таким образом получаем, что число 3^2007 + 7^2007 делится на 37.

Answer 2

Чтобы доказать, что число 3*2007+7*2007 делится на 37, необходимо показать, что остаток от деления этого числа на 37 равен 0.

Мы можем представить данное число в виде суммы двух слагаемых: 3*2007 и 7*2007.

Операция умножения ассоциативна, поэтому мы можем записать это выражение как (3+7)*2007.

Теперь заметим, что 3+7 = 10, поэтому выражение можно переписать как 10*2007.

Операция умножения ассоциативна и коммутативна, поэтому мы можем переписать это выражение как 2007*10.

Теперь заметим, что 2007 = 37*54, так как 2007 делится на 37 без остатка.

Подставим это в наше выражение: 2007*10 = (37*54)*10.

Раскроем скобки: (37*54)*10 = 37*(54*10).

Мы видим, что 54*10 = 540, поэтому выражение можно переписать как 37*540.

Теперь заметим, что 540 = 37*14, так как 540 делится на 37 без остатка.

Подставим это в наше выражение: 37*540 = 37*(37*14).

Раскроем скобки: 37*(37*14) = (37*37)*14.

Мы видим, что 37*37 = 1369.

Подставим это в наше выражение: (37*37)*14 = 1369*14.

Умножим 1369 на 14: 1369*14 = 19166.

Теперь мы видим, что число 3*2007+7*2007 равно 19166, что делится на 37 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что 3*2007+7*2007 делится на 37 без остатка.