Question

Решить уровнение, найти все корни и указать их кратность (z^2 + 4i)(z^4 + 625)^5 = 0

Answer 1

Z1=−0,5−1,5i
z2=−0,5+2,5i

Answer 2

Для решения уравнения (z^2 + 4i)(z^4 + 625)^5 = 0, сначала разложим его на множители.

1. Раскроем скобки: (z^2 + 4i)(z^4 + 625)^5 = 0 (z^2 + 4i)(z^4 + 625)(z^4 + 625)(z^4 + 625)(z^4 + 625)(z^4 + 625) = 0

2. Перенесем все множители, кроме каждой скобки к 0 в одну сторону: (z^2 + 4i) = 0 (z^4 + 625) = 0 (z^4 + 625) = 0 (z^4 + 625) = 0 (z^4 + 625) = 0 (z^4 + 625) = 0

3. Решим каждое уравнение по отдельности:

a) Уравнение z^2 + 4i = 0 можно решить, используя формулу для комплексных чисел: z = ±√(-4i) = ±(√4 * √i) = ±2 * (1 + i).

Таким образом, у уравнения z^2 + 4i = 0 два корня: z = 2 * (1 + i) и z = -2 * (1 + i).

б) Уравнение z^4 + 625 = 0 является уравнением четвёртой степени. Можно воспользоваться формулой для нахождения корней уравнений четвёртой степени.

Решим его:

z^4 + 625 = 0 (z^2)^2 + 25^2 = 0

Запишем уравнение в виде (z^2)^2 = -25^2 и продолжим поиски корней.

Пусть z^2 = a. a^2 = -25^2 a^2 + (25i)^2 = 0

Теперь применяем формулу для комплексных чисел и получаем:

a = ±√(-(25i))^2 a = ±√(-625) a = ±25i

Таким образом, получили два значения z^2: z^2 = 25i и z^2 = -25i. Возьмём корень из каждого значения:

1. z = ±√(25i) = ±(√25 * √i) = ±5 * (1 + i) 2. z = ±√(-25i) = ±(√25 * √i) = ±5 * (1 - i)

Итак, получили следующие значения для каждого уравнения z^4 + 625 = 0: 1. z = 5 * (1 + i) 2. z = 5 * (1 - i) 3. z = -5 * (1 + i) 4. z = -5 * (1 - i)

4. Итак, пять корней уравнения (z^2 + 4i)(z^4 + 625)^5 = 0 и их кратность: - z = 2 * (1 + i) (кратность 1) - z = -2 * (1 + i) (кратность 1) - z = 5 * (1 + i) (кратность 5) - z = 5 * (1 - i) (кратность 5) - z = -5 * (1 + i) (кратность 5) - z = -5 * (1 - i) (кратность 5)