Question

Решить интеграл x^2*sqrt(8-2*x^2)dx

Answer 1

Вот решение ()()()()()()()

Answer 2

Для решения данного определенного интеграла, необходимо использовать метод замены переменных.

Для начала проведем замену переменных, пусть u = 8 - 2x^2. Тогда du/dx = -4x, откуда dx = -du/(4x). Также, замечаем, что x^2 = (8 - u)/2.

Подставим эти выражения в интеграл и получим новый интеграл: ∫ (x^2)*(sqrt(8-2*x^2)) dx = ∫ (8 - u)/2 * sqrt(u) * (-du/(4x))

Теперь разложим на два отдельных интеграла: ∫ ((8-u)/2) * sqrt(u) * (-du)/(4x) = (-1/8) * ∫ (sqrt(u) / x) du + (1/8) * ∫ (sqrt(u) / 2x) du

Первый интеграл можно рассмотреть как интеграл от функции, зависящей только от переменной u. ∫ (sqrt(u) / x) du = (1/x) * ∫ sqrt(u) du = (1/x) * (2/3) * u^(3/2) + C1, где C1 - произвольная константа

Второй интеграл просто равен ∫ (sqrt(u) / 2x) du = (1/2) * (1/x) * ∫ sqrt(u) du = (1/2) * (1/x) * (2/3) * u^(3/2) + C2, где C2 - произвольная константа.

Собирая все вместе, получим окончательное решение: ∫ (x^2)*(sqrt(8-2*x^2)) dx = (-1/8) * ((1/x) * (2/3) * u^(3/2) + C1) + (1/8) * ((1/2) * (1/x) * (2/3) * u^(3/2) + C2) = (-1/12x) * u^(3/2) + (1/16x) * u^(3/2) + (1/8) * C2 - (1/8) * C1

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным. Заменим u обратно на 8 - 2x^2: = (-1/12x) * (8 - 2x^2)^(3/2) + (1/16x) * (8 - 2x^2)^(3/2) + (1/8) * C2 - (1/8) * C1

Итак, решение данного интеграла: ∫ (x^2)*(sqrt(8-2*x^2)) dx = (-1/12x) * (8 - 2x^2)^(3/2) + (1/16x) * (8 - 2x^2)^(3/2) + C3, где C3 = (1/8) * C2 - (1/8) * C1.