Question

Решить уравнение sqrt(16-x) + sqrt(x-14) = x² - 30x + 227

Answer 1

$\sqrt{16-x} + \sqrt{x-14} =x^2-30x+227\\ \\ \sqrt{16-x} + \sqrt{x-14} =(x-15)^2+2$

Воспользуемся неравенством Коши

$\sqrt{16-x}=\sqrt{1\cdot(16-x)} \leq \dfrac{1+16-x}{2} = \dfrac{17-x}{2} \\ \\ \\ \sqrt{x-14}= \sqrt{1\cdot(x-14)} \leq \dfrac{1+x-14}{2} = \dfrac{x-13}{2}$

Прибавим эти неравенства, получаем

$\sqrt{16-x}+\sqrt{x-14} \leq 2\\ \\ (x-15)^2+2 \leq 2\\ \\ (x-15)^2 \leq 0\\ \\ x=15$


Ответ: x=15.

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

1. Начнем с того, чтобы избавиться от корней. Возведем оба выражения под корнем в квадрат, чтобы получить выражения без корней:

(sqrt(16-x))^2 + (sqrt(x-14))^2 = (x^2 - 30x + 227)^2

16 - x + x - 14 = x^2 - 30x + 227

2 = x^2 - 30x + 227

2. Теперь приведем уравнение к квадратному виду, собрав все члены на одной стороне:

x^2 - 30x + 227 - 2 = 0

x^2 - 30x + 225 = 0

3. Разложим левую часть уравнения на множители или воспользуемся квадратным корнем:

(x - 15)^2 = 0

4. Теперь найдем значения x, при которых выражение (x - 15)^2 равно нулю. Для этого приравняем (x - 15)^2 к нулю и решим полученное уравнение:

(x - 15)^2 = 0

x - 15 = 0

x = 15

Таким образом, уравнение sqrt(16-x) + sqrt(x-14) = x^2 - 30x + 227 имеет одно решение: x = 15.