Question

Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 20172017?

Answer 1

6/Задание № 3:

Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 20172017?

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим три случая.

1. Оба числа четные. Тогда, их разность четная, произведение - четное. Произведение двух четных чисел - четное.

2. Одно число четное, а другое нечетное. Тогда, их разность нечетная, произведение - четное. Произведение нечетного и четного числа - четное.

3. Оба числа нечетные. Тогда, их разность четная, произведение - нечетное. Произведение четного и нечетного числа - четное.

В любом случае комбинация таких действий приводит к четному результату. Но 20172017 - число нечетное. Не может быть.

ОТВЕТ: нет

Answer 2

Давайте обозначим два натуральных числа как \(a\) и \(b\), где \(a\) больше \(b\). Тогда разность двух чисел будет равна \(a - b\), а их произведение будет \(a \cdot b\).

Условие задачи гласит, что разность двух натуральных чисел умножили на их произведение и получили число 20172017. Мы можем записать это уравнение:

\[(a - b) \cdot (a \cdot b) = 20172017\]

Теперь давайте рассмотрим, какие пары натуральных чисел \(a\) и \(b\) могут удовлетворять этому уравнению. Заметим, что 20172017 - это произведение простых чисел, и мы можем представить его разложение на простые множители.

\[20172017 = 7 \cdot 17 \cdot 67 \cdot 149\]

Теперь мы должны разделить эти простые множители между \(a - b\) и \(a \cdot b\), чтобы получить возможные значения \(a\) и \(b\). Поскольку \(a\) больше \(b\), мы можем предположить, что \(a\) содержит большие простые множители, а \(b\) содержит меньшие.

Один из вариантов разделения может быть, например:

\[a - b = 7 \cdot 17 \quad \text{и} \quad a \cdot b = 67 \cdot 149\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для \(a\) и \(b\). Например, если \(a - b = 7 \cdot 17\), то \(a = 7 \cdot 17 + b\). Подставим это во второе уравнение:

\[(7 \cdot 17 + b) \cdot b = 67 \cdot 149\]

Это уравнение решается численно, и, возможно, найдутся подходящие значения \(a\) и \(b\).

Однако важно отметить, что у этой задачи может быть несколько решений, и приведенный выше пример - всего лишь один из них. Также возможно, что не существует натуральных чисел \(a\) и \(b\), удовлетворяющих условиям задачи.