Question

Две установки по обогащению руды должны были обработать 54 т руды. первая обработала часть руды за 2 часа, после чего ее сменила вторая, которая за 3 часа обработала оставшуюся часть руды. Сколько тонн руды обрабатывает за час первая установка, если 36 т обрабатываются ею на 1 ч медленне,чем второй установкой

Answer 1

Обозначим N и P - мощности 1 и 2 установки (тонн/час), t - время (час), за которое 1 установка переработает 36 тонн
Масса переработанной руды и производительность связаны соотношением: $M=N*t$

Из первой части задания:
$2*N+3*P=54$ (уравненеие 1)
Из второй части задания:
$t*N=36$ (уравнение 2)
$(t-1)*P=36$ (уравнение 3)
Получаем 3 уравнения и 3 неизвестных: задача решаема.

Из уравнений 2 и 3 получаем:
$N=36/t$
$P=36/(t-1)$
Подставляем это в уравнение 1:
$\frac{2*36}{t} + \frac{3*36}{t-1} =54$
$\frac{72}{t} + \frac{108}{t-1} =54$
$54t(t-1)=72(t-1)+108t$
$54t^{2}-54t-72t+72-108t=0$
$54 t^{2} -234t+72=0$
$t_{1,2} = \frac{234 \frac{+}{} \sqrt{234^{2} -4*54*72} }{2*54}$
$t x_{1,2} = \frac{234 \frac{+}{} 198}{108}$
Получаем $t _{1} =4, t_{2} = \frac{1}{3}$

При этом для значений производительности получаем два решения (из уравнений 2 и 3):
1)$N=9, P=12$
2)$N=108, P=-54$
Поскольку отрицательное количество руды установка по обогащению руды переработать явно не может (она называлась бы по-другому), нам подходит только первый вариант:
$N=9, P=12$

Answer 2

Давайте обозначим количество руды, которое первая установка обрабатывает за час, как \( Х \) тонн. Тогда вторая установка будет обрабатывать \( Х + 1 \) тонн в час, так как она работает на 1 тонну в час быстрее.

Сначала первая установка обработала часть руды за 2 часа, что составило \( 2 \cdot Х \) тонн. Затем вторая установка обработала оставшуюся часть руды за 3 часа, что равно \( 3 \cdot (Х + 1) \) тонн.

Суммируем обработанное обеими установками количество руды:

\[ 2 \cdot Х + 3 \cdot (Х + 1) = 54 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 2 \cdot Х + 3 \cdot Х + 3 = 54 \]

\[ 5 \cdot Х + 3 = 54 \]

Выразим \( Х \):

\[ 5 \cdot Х = 51 \]

\[ Х = \frac{51}{5} \]

Таким образом, первая установка обрабатывает \( \frac{51}{5} \) тонн руды в час.

Теперь, чтобы найти количество руды, которое обрабатывает первая установка за час медленнее, чем вторая установка, вычтем 1 тонну:

\[ \frac{51}{5} - 1 = \frac{51}{5} - \frac{5}{5} = \frac{46}{5} \]

Таким образом, первая установка обрабатывает \( \frac{46}{5} \) тонн руды в час.