Question

найти частные производные dz/dx и dz/dy функций z=f(x,y) z=ln(3x^2-y^2)

Answer 1

 

 dz/dx = 6X / (3x^2-y^2)

 dz/dy = -2Y / (3x^2-y^2)

Answer 2

Для нахождения частных производных функции z=f(x, y), где z=ln(3x^2-y^2), мы будем дифференцировать данную функцию по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Найдем частную производную dz/dx: Для этого мы будем считать переменную y константой и дифференцировать функцию z=f(x, y) по x. Также воспользуемся свойствами производной для вычисления производной составной функции ln( ).

f(x, y) = ln(3x^2-y^2) f'(x) = d/dx [ln(3x^2-y^2)]

Используя правило производной композиции функций, получим:

f'(x) = 1 / (3x^2-y^2) * d/dx [3x^2-y^2]

Дифференцируя каждый отдельный член, получим:

f'(x) = 1 / (3x^2-y^2) * (6x - 0)

f'(x) = 6x / (3x^2-y^2)

Таким образом, частная производная по x равна dz/dx = 6x / (3x^2-y^2).

2. Найдем частную производную dz/dy: Для этого мы будем считать переменную x константой и дифференцировать функцию z=f(x, y) по y. Также воспользуемся свойствами производной для вычисления производной составной функции ln( ).

f(x, y) = ln(3x^2-y^2) f'(y) = d/dy [ln(3x^2-y^2)]

Используя правило производной композиции функций, получим:

f'(y) = 1 / (3x^2-y^2) * d/dy [3x^2-y^2]

Дифференцируя каждый отдельный член, получим:

f'(y) = 1 / (3x^2-y^2) * (0 - 2y)

f'(y) = -2y / (3x^2-y^2)

Таким образом, частная производная по y равна dz/dy = -2y / (3x^2-y^2).

Итак, частные производные функции z=f(x,y), где z=ln(3x^2-y^2), равны: dz/dx = 6x / (3x^2-y^2) dz/dy = -2y / (3x^2-y^2).