Question

Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость числовой ряд.

Answer 1

Нужно  проинтегрировать выражение
Если интеграл сходится то и ряд будет сходится, если расходится то ряд тоже будет расходится
$\int_{1}^{\infty} \frac{ln n} {n^2} dn$ интегрируем по частям
$u(n) = lnn$    =>    $du(n) = \frac{dn}{n}$
$dv(n) = \frac{1}{n^2}$   =>   $v(n) = -\frac{1}{n}$
Сама формула интегрирования по частям
$\int udv = uv - \int vdu$
Теперь осталось подставить
$\int_{1}^{\infty} \frac {lnn}{n^2} = -\frac{lnn}{n} - \int_{1}^{\infty} -\frac{1}{n^2}dn$
Вычисляем
$\int_{1}^{\infty} \frac {lnn}{n^2} = -\frac{lnn}{n} + \frac{1}{n} = -1$
Интеграл сходится значит и ряд тоже сходится