Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение: cos²2x-sin²x =0

Answer 1

cos²2x-sin²x =0
(1+сos4x)/2-(1-cos2x)/2=0
1+cos4x-1+cos2x=0
cos4x+cos2x=0
2cos²2x-1+cos2x=0
cosx=t
2t²+t-1=0
D=1+8=9
t1=(-1-3)/4=-1⇒cos2x=-1⇒2x=π+2πn⇒x=π/2+πn,n∈z
t2=(-1+3)/4=1/2⇒cos2x=1/2⇒2x=+-π/3+2πn⇒x=+-π/6+πn,n∈z

Answer 2

(1+cos4x)/2 - (1-cos2x)/2=0

(1+cos4x-1+cos2x)/2=0

co4x+cos2x=0

2cos²2x -1+cos2x=0

cos2x=a
2a²+a-1=0
D=1+8=9
a1=-1+3/4=2/4=1/2
a2=-1-3/4=-4/4=-1

cos2x=1/2
2x=+- π/3+2πk
x=+-π/6+πk

cos2x=-1
2x=π+2πk
x=π/2+πk

Answer 3

Для решения данного уравнения, начнем с использования тригонометрических тождеств. В частности, нам понадобится тригонометрическое тождество "cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)".

Давайте заменим "cos²(2x)" в уравнении на "cos²(x) - sin²(x)":

cos²(2x) - sin²(x) = 0

Теперь заменим "cos²(2x)" на "cos²(x) - sin²(x)":

(cos²(x) - sin²(x)) - sin²(x) = 0

Раскроем скобки:

cos²(x) - sin²(x) - sin²(x) = 0

Упростим:

cos²(x) - 2sin²(x) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Перепишем его в виде:

cos²(x) = 2sin²(x)

Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством "sin²(x) + cos²(x) = 1". Заменим "cos²(x)" в уравнении на "1 - sin²(x)":

2sin²(x) = 1 - sin²(x)

Теперь объединим все члены синусов:

3sin²(x) = 1

Делим обе части на 3:

sin²(x) = 1/3

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

sin(x) = ±√(1/3)

Так как sin(x) может быть положительным или отрицательным, у нас есть два возможных значения для sin(x):

sin(x) = √(1/3) или sin(x) = -√(1/3)

Чтобы найти значения x, возьмем обратный синус от обеих сторон уравнения:

x = arcsin(√(1/3)) или x = arcsin(-√(1/3))

Теперь, используя калькулятор или таблицу значений, найдем значения обратного синуса:

x ≈ 0.615 или x ≈ -0.615

Таким образом, уравнение cos²(2x) - sin²(x) = 0 имеет два решения: x ≈ 0.615 и x ≈ -0.615.