Question

В треугольнике abc известны длины сторон ab=8, ac=64, точка O-центр окружности описанной около треугольника abc. прямая bd перпендикулярная прямой ao пересекает сторону ac в точке d. найдите cd

Answer 1

Решили с другом, очень муторно и долго.
Сначала, представим угол С=а
Теперь решаем
1. угол АОВ=2а, т.к. они опираются на одну дугу АВ, только АОВ-центральный.
2. угол ВАО = (180-2а)/2=90-а (учтите, что ВО=АО, поэтому делим на 2)
3. Тогда угол АВО'(O'-Пересечение ВD с АО) = 180-180+а=а
4. рассмотрим треуг. АВС и треуг АВD. угол АВD = углу C по 3 пункту, а А-общий. Опа! Треуг АВD подобен АВС по углам.
5. Из подобия AD/8=8/65, или AD=1, А СD соответственно 63.
Ответ: 63

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольников и окружностей.

Обозначим точку пересечения прямых bd и ao как точку E.

Так как prямая bd перпендикулярная прямой ao, то можно сделать вывод, что треугольники aob и bod подобны друг другу (по теореме о треугольниках, у которых один угол прямой, а другой имеет равные вторые углы).

Из подобия этих треугольников можем записать следующее соотношение:

ao/ob = ob/od

Так как точка о является центром описанной окружности треугольника abc, она равноудалена от точек a, b и c. Значит, длины отрезков ao и ob равны и равны радиусу окружности, обозначим его как r.

Таким образом, получаем:

r/ob = ob/od

Перепишем это соотношение в более удобной для нас форме:

ob^2 = r * od

С другой стороны, из свойств окружности следует, что длина отрезка ob равна половине диаметра окружности (или радиусу, если представить диаметр как два радиуса). Таким образом, ob = r/2.

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

(r/2)^2 = r * od

Упростим:

r^2/4 = r * od

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

r^2 = 4 * r * od

Теперь выразим длину отрезка cd через r:

cd = r^2 / (4 * od)

Остается найти длину отрезка od. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике acd:

ad^2 + cd^2 = ac^2

Так как ad = ac - od, можем записать:

(ac - od)^2 + cd^2 = ac^2

раскроем скобки и упростим уравнение:

ac^2 - 2 * ac * od + od^2 + cd^2 = ac^2

Сократим не зависящие от od слагаемые:

od^2 + cd^2 = 2 * ac * od

Теперь можем выразить od:

od = (od^2 + cd^2) / (2 * ac)

И подставим это значение в предыдущее уравнение для cd:

cd = r^2 / (4 * ((od^2 + cd^2) / (2 * ac)))

Рассчитаем эту формулу и получим окончательный ответ для cd.