Question

Вычистить площадь фигуры ограниченной линиями: A) y=3x y=0 x=2 Б)y=x^2 y=0 x=-2 x=2 В)y=-x^2-5x y=0 Г)y=-x^2+4 y=0 ________________ А)y=4x y=0 x=2 Б)y=x^2 y=0 x=-1 x=2 В)y=-x^2+5x y=0 Г)-x^2+9 y=0

Answer 1

_________________________________-

Answer 2

a) Для данной фигуры ограничивающими линиями являются y = 3x, y = 0 и x = 2.

Для вычисления площади этой фигуры можно использовать метод интегрирования. Сначала найдем точки пересечения линий: y = 3x, y = 0: подставляем y = 0 в y = 3x, получаем 0 = 3x, отсюда x = 0. Таким образом, фигура пересекает ось x в точке (0,0). y = 0, x = 2: получаем точку пересечения (2,0). Таким образом, фигура представляет собой треугольник с вершинами (0,0), (2,0) и точкой пересечения кривых (0,0).

Для вычисления площади треугольника используется формула S = (1/2) * a * h, где a - длина основания (расстояние между вершинами), h - высота, проведенная к этому основанию. В данном случае, основание треугольника равно 2-0=2, а высота равна расстоянию от точки (0,0) до прямой y = 3x.

Уравнение прямой имеет вид y = kx, где k - коэффициент наклона прямой. В данном случае k = 3, следовательно, y = 3x.

Подставляем данное уравнение в уравнение прямой y = 3x и решаем систему уравнений: y = 3x, y = 0. Подставляем значение y из уравнения 1 в уравнение 2: 3x = 0, отсюда x = 0. Подставляем значение x в уравнение 1: y = 3 * 0 = 0. Таким образом, получаем точку (0,0), которая также является вершиной треугольника.

Высота треугольника равна расстоянию от этой вершины до прямой y = 3x. Формула для расстояния между точкой и прямой имеет вид d = |Ax + By + C|/sqrt(A^2 + B^2), где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой, Ax + By + C = 0, и sqrt(x) - квадратный корень из x. В данном случае, уравнение прямой y = 3x можно переписать в виде 3x - y = 0, отсюда A = 3, B = -1, C = 0. Подставляем значения A, B и C в формулу для расстояния: d = |3(0) + (-1)(0) + 0|/sqrt(3^2 + (-1)^2) = 0/sqrt(10) = 0.

Таким образом, площадь треугольника будет равна S = (1/2) * a * h = (1/2) * 2 * 0 = 0.

b) Для данной фигуры ограничивающими линиями являются y = x^2, y = 0 и x = -2, x = 2.

По аналогии с предыдущим случаем, найдем точки пересечения линий: y = x^2, y = 0: подставляем y = 0 в y = x^2, получаем 0 = x^2, отсюда x = 0. Таким образом, фигура пересекает ось x в точке (0,0). x = -2, x = 2: получаем точки пересечения (-2,0) и (2,0). Таким образом, фигура представляет собой фигуру, ограниченную параболой y = x^2 между x=-2 и x=2 и осью x.

Для вычисления площади этой фигуры можно использовать метод интегрирования. Площадь фигуры равна интегралу от функции y = x^2 между границами -2 и 2: S = ∫[x=-2 to x=2] x^2 dx.

Вычисляем этот интеграл: S = (1/3) * [x^3] [x=-2 to x=2] = (1/3) * (2^3 - (-2)^3) = (1/3) * (8 - (-8)) = (1/3) * 16 = 16/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2, y = 0, x = -2 и x = 2, равна 16/3.

В данном задании даны ещё две фигуры (варианты В и Г), и их площади также могут быть вычислены аналогичным образом, используя метод интегрирования.