Question

На отрезке наудачу ставятся две точки, разбивающие его на три отрезка. Какова вероятность того, что из этих отрезков можно составить треугольник?

Answer 1

ДУМАЕМ
Треугольник НЕЛЬЗЯ будет составить, если одна из двух точек будет точно посередине.
Вероятность для первой и для второй = р = 1/L и для любой из двух -
р = 2/L

Answer 2

Чтобы определить, можно ли из отрезков построить треугольник, нужно применить неравенство треугольника. Неравенство треугольника утверждает, что для трех сторон треугольника сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Допустим, у нас есть три отрезка: \(a\), \(b\) и \(c\). Мы хотим, чтобы выполнялись следующие неравенства:

1. \(a + b > c\) 2. \(a + c > b\) 3. \(b + c > a\)

Теперь, предположим, что отрезки выбраны случайным образом. Длины отрезков могут быть любыми на заданном отрезке. Предположим, что отрезок делится на две точки наугад. Вероятность того, что одна точка попадет внутри отрезка \(a\), вторая внутри отрезка \(b\), а третья внутри отрезка \(c\), равна:

\[ P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

Это потому, что каждый отрезок разбивается на две части, и вероятность того, что точка попадет внутри нужного отрезка, равна \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, вероятность того, что из трех отрезков можно составить треугольник, равна \(3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\).