Question

Решить уровнения: 4cos^2x-cosx-3=0 Lg(4x+5)-lg(5x+2)=0 2^x+2 * 5^x = 400

Answer 1

Решение первых двух в файле

Answer 2

Для решения уравнений, которые вы предоставили, нужно использовать различные методы и техники. Давайте решим их по очереди.

Уравнение 1: 4cos^2x - cosx - 3 = 0

Для решения этого уравнения давайте введем замену, чтобы преобразовать его в квадратное уравнение. Пусть t = cos(x). Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

4t^2 - t - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, завершая квадрат или применяя квадратную формулу. Заметим, что это уравнение не факторизуется, поэтому воспользуемся квадратной формулой.

Для уравнения вида at^2 + bt + c = 0, где a, b и c - коэффициенты, заданные в нашем уравнении, мы можем использовать следующую формулу:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Применяя эту формулу к нашему уравнению, мы получим два значения для t, которые мы можем затем использовать для нахождения значений x.

t = (1 ± √(1 + 48)) / 8

Вычисляя это выражение, получаем:

t1 ≈ 1.375 t2 ≈ -0.375

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратную функцию косинуса, так как t = cos(x). Таким образом, мы получаем:

x1 ≈ arccos(1.375) ≈ 0.184 rad ≈ 10.55° x2 ≈ arccos(-0.375) ≈ 1.944 rad ≈ 111.47°

Итак, решение уравнения 4cos^2x - cosx - 3 = 0 состоит из двух значений: x1 ≈ 0.184 rad и x2 ≈ 1.944 rad (в градусах это примерно 10.55° и 111.47°).

Теперь перейдем ко второму уравнению.

Уравнение 2: lg(4x + 5) - lg(5x + 2) = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать свойства логарифмов. Сначала применим свойство логарифма, которое гласит, что разность логарифмов равна логарифму отношения:

lg((4x + 5)/(5x + 2)) = 0

Затем мы можем применить свойство логарифма, утверждающее, что lg(1) = 0:

(4x + 5)/(5x + 2) = 1

Разделим обе части на (5x + 2):

4x + 5 = 5x + 2

Перенесем все члены с x на одну сторону:

x = 3

Таким образом, решение уравнения lg(4x + 5) - lg(5x + 2) = 0 состоит из одного значения: x = 3.

И, наконец, перейдем к третьему уравнению.

Уравнение 3: 2^x + 2 * 5^x = 400

Для решения этого уравнения мы можем применить методы логарифмирования.

Давайте применим логарифм по основанию 10 к обеим сторонам уравнения:

log(2^x + 2 * 5^x) = log(400)

Теперь мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит, что log(a + b) = log(a) + log(b):

log(2^x) + log(2 * 5^x) = log(400)

Используем свойство логарифма log(a^b) = b * log(a):

x * log(2) + log(2) + log(5^x) = log(400)

x * log(2) + log(2) + x * log(5) = log(400)

Теперь сгруппируем члены с x:

x * (log(2) + log(5)) + log(2) = log(400)

x * log(10) + log(2) = log(400)

Учитывая, что log(10) = 1, мы можем записать:

x + log(2) = log(400)

x = log(400) - log(2)

x ≈ 2.602 - 0.301

x ≈ 2.301

Таким образом, решение уравнения 2^x + 2 * 5^x = 400 состоит из одного значения: x ≈ 2.301.

Теперь мы решили все три уравнения, предоставленных вами.