Question

Решите неравенство x2-x-2>0.С полным разбором.

Answer 1

Вот так вот :))))))))

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(x^2 - x - 2 > 0\), давайте воспользуемся методом интервалов.

1. Находим корни уравнения: Начнем с поиска корней квадратного уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\).

Решение квадратного уравнения можно найти, используя формулу дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac\]

Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), корни можно найти как: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В данном случае: \[a = 1, \quad b = -1, \quad c = -2\]

\[D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\]

Таким образом, дискриминант \(D\) положителен, и у уравнения два действительных корня.

\[x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}\]

Получаем два корня: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2\).

2. Разбиваем ось на интервалы, используя найденные корни: Теперь мы разбиваем ось чисел на интервалы с использованием найденных корней, то есть -1 и 2. Получаем три интервала:

- \((- \infty, -1)\) - \((-1, 2)\) - \((2, + \infty)\)

3. Выбираем тестовую точку в каждом интервале: Выберем тестовые точки в каждом интервале. Хорошо выбирать точки, которые легко подставить в уравнение для проверки.

- Для интервала \((- \infty, -1)\) выберем \(x = -2\). - Для интервала \((-1, 2)\) выберем \(x = 0\). - Для интервала \((2, + \infty)\) выберем \(x = 3\).

4. Подставляем тестовые точки в неравенство: Теперь подставим тестовые точки в исходное неравенство и проверим, выполняется ли оно в каждом интервале.

- Для интервала \((- \infty, -1)\) (\(x = -2\)): \[(-2)^2 - (-2) - 2 > 0 \implies 4 + 2 - 2 > 0 \implies 4 > 0\]

Неравенство выполняется.

- Для интервала \((-1, 2)\) (\(x = 0\)): \[(0)^2 - (0) - 2 > 0 \implies -2 > 0\]

Неравенство не выполняется.

- Для интервала \((2, + \infty)\) (\(x = 3\)): \[(3)^2 - (3) - 2 > 0 \implies 9 - 3 - 2 > 0 \implies 4 > 0\]

Неравенство выполняется.

5. Определяем решение: Теперь объединим интервалы, где неравенство выполняется. Из результатов тестов видим, что неравенство выполняется в интервалах \((- \infty, -1)\) и \((2, + \infty)\).

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - x - 2 > 0\) является объединение этих интервалов: \[x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)\]