Question

Найти производную сложной функцииf(x)=(x^2-1)√x^2+1=

Answer 1

$f'(x)=(x^2-1)' \cdot\sqrt{x^2+1} +(x^2-1)\cdot (\sqrt{x^2+1})' \cdot(x^2+1)'= \\ \\ =2x \sqrt{x^2+1} + \frac{x(x^2-1)}{ \sqrt{x^2+1} } = \dfrac{2x^3+2x+x^3-x}{ \sqrt{x^2+1} } =\dfrac{3x^3+x}{ \sqrt{x^2+1} }$

Answer 2

f`(x)=2x*√(x²+1) +(x²-1)*x/√(x²+1)=(2x(x²+1)+x(x²-1))/√(x²+1)=(2x³+2x+x³-x)/√(x²+1)=
=(3x³+x)/√(x²+1)

Answer 3

Давайте найдем производную сложной функции \( f(x) = (x^2 - 1)\sqrt{x^2 + 1} \) по переменной \( x \).

Для этого воспользуемся правилом производной произведения двух функций и правилом производной композиции функций.

1. Правило производной произведения: \((uv)' = u'v + uv'\) 2. Правило производной композиции: \((g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)\)

Обозначим:

- \( u(x) = (x^2 - 1) \) - \( v(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)

Тогда:

\[ f(x) = u(x) \cdot v(x) \]

И найдем производные от \( u \) и \( v \):

1. \( u'(x) = 2x \) (производная от \( x^2 - 1 \)) 2. \( v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \) (производная от \( \sqrt{x^2 + 1} \))

Теперь применим правило производной произведения:

\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]

Подставим значения:

\[ f'(x) = (2x)(\sqrt{x^2 + 1}) + (x^2 - 1) \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) \]

Упростим выражение:

\[ f'(x) = 2x\sqrt{x^2 + 1} + \frac{x(x^2 - 1)}{\sqrt{x^2+1}} \]

Это и есть производная функции \( f(x) = (x^2 - 1)\sqrt{x^2 + 1} \) по переменной \( x \).