Question

В треугольник ABC в котором угол B является острым , провели медиану BM. Докажите, что BM>MC

Answer 1

Если бы угол В был прямым, то АС - диаметр описанной окружности, ВМ=МС -радиусы.
Если В - острый, то вершина В лежит вне окружности построенной на АС как на диаметре, ВМ>радиуса, а МС -радиус. Следовательно ВМ>МС !!!

Answer 2

Для доказательства того, что в треугольнике ABC, где угол B является острым, медиана BM больше отрезка MC, мы можем использовать неравенство треугольника.

Неравенство треугольника:

В треугольнике любая сторона должна быть короче, чем сумма двух остальных сторон. Для треугольника ABC, это может быть записано следующим образом: AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB

Доказательство неравенства медианы:

Медиана треугольника - это линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае, медиана BM соединяет вершину B с серединой противоположной стороны AC.

Для доказательства BM > MC, мы можем использовать неравенство треугольника на треугольнике ABM и треугольнике MBC.

В треугольнике ABM: AB + BM > AM BM > AM - AB

В треугольнике MBC: MC + BC > BM MC > BM - BC

Соединение неравенств:

Используя неравенство треугольника для треугольников ABM и MBC, мы можем сделать следующий вывод:

BM > AM - AB MC > BM - BC

Добавим эти два неравенства: BM + MC > (AM - AB) + (BM - BC) BM + MC > AM - AB + BM - BC

Упрощение:

AM - AB + BM - BC можно переписать в виде (AM + BM) - (AB + BC), так как AM и BM являются сторонами треугольника ABC.

Таким образом, неравенство примет следующий вид: BM + MC > (AM + BM) - (AB + BC) BM + MC > AB + AM - AB - BC BM + MC > AM - BC

Заключение:

Из полученного неравенства BM + MC > AM - BC, мы видим, что BM + MC больше, чем AM - BC.

Учитывая, что AM - BC является положительным значением (поскольку в треугольнике угол B является острым и сторона AC меньше, чем сторона AB), мы можем сделать вывод, что BM + MC > 0, что означает, что BM больше, чем MC.

Таким образом, доказано, что в треугольнике ABC, где угол B является острым, медиана BM больше отрезка MC (BM > MC).