Question

найти площадь фигуры ограниченной кривыми y=x^2 y=4 x=0

Answer 1

Логарифм от 0 до 2 функции x^2dx= х^3/3 в постановке от 0 до 2 = 8/3-0/3= две целых одна треть

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\), \(y = 4\) и \(x = 0\), мы можем использовать метод интегрирования. Площадь под кривой может быть вычислена как разность между верхней и нижней функциями в пределах заданных границ.

Первым шагом определим точки пересечения кривых. У нас есть три уравнения:

1. \(y = x^2\) 2. \(y = 4\) 3. \(x = 0\)

При \(y = 4\), подставим это значение в уравнение \(y = x^2\):

\[4 = x^2\]

Отсюда получаем два значения \(x\): \(x = 2\) и \(x = -2\).

Таким образом, точки пересечения кривых: \((-2, 4)\), \((0, 0)\) и \((2, 4)\).

Теперь мы можем определить границы интегрирования. Нижняя граница будет \(x = -2\), а верхняя граница \(x = 2\).

Площадь между кривыми задается следующим выражением:

\[A = \int_{-2}^{2} (y_{\text{верх}} - y_{\text{нижн}}) \,dx\]

где \(y_{\text{верх}}\) и \(y_{\text{нижн}}\) - это верхняя и нижняя функции соответственно.

В данном случае:

\[A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx\]

Теперь проведем интегрирование:

\[A = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}\]

\[A = \left[4(2) - \frac{2^3}{3}\right] - \left[4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right]\]

\[A = \left[8 - \frac{8}{3}\right] - \left[-8 + \frac{8}{3}\right]\]

\[A = \frac{16}{3} + \frac{24}{3} = \frac{40}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры ограниченной кривыми \(y = x^2\), \(y = 4\) и \(x = 0\) равна \(\frac{40}{3}\).