Question

СРОООЧНОО!!! ПОМОГИТЕ!!! Вычислите значение производной функции: y=(x-1)^3 / x^2+1 в точке x0= -1

Answer 1

сначало мы считаем производную самого выражения

y'=(2(х-1)(x^2+1)-2x(х-1)^2)/((x^2+1)^2)=2(x^2-1)/(x^2+1)^2)

 а теперь подставляем значение x0

y'(-1)=(2*0)/4=0

Answer 2

Для вычисления значения производной функции в точке x₀ = -1, нам потребуется использовать правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования степенной функции.

Функция, для которой мы хотим вычислить производную, дана в виде y = (x - 1)^3 / (x^2 + 1). Для начала, найдем производную каждого слагаемого функции.

Правило дифференцирования сложной функции гласит, что если у нас есть функция u = f(g(x)), то ее производная равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x). В нашем случае, мы можем рассматривать (x - 1) как внешнюю функцию и (x^3) как внутреннюю функцию.

Таким образом, производная слагаемого (x - 1)^3 будет равна: (3(x - 1)^2) * (1) = 3(x - 1)^2

Производная слагаемого x^2 + 1 равна: (2x) * (1) = 2x

Теперь, используя правило дифференцирования частного функций, мы можем вычислить производную всей функции y.

Производная функции y будет равна: (y' * (x^2 + 1) - y * (2x)) / (x^2 + 1)^2

где y' - производная числителя и y - производная знаменателя.

Подставляя значения производных слагаемых, получаем: (y' * (x^2 + 1) - y * (2x)) / (x^2 + 1)^2 = ((3(x - 1)^2) * (x^2 + 1) - ((x - 1)^3) * (2x)) / (x^2 + 1)^2

Теперь, чтобы вычислить значение производной в точке x₀ = -1, мы можем подставить это значение в выражение для производной:

((3(-1 - 1)^2) * ((-1)^2 + 1) - ((-1 - 1)^3) * (2(-1))) / ((-1)^2 + 1)^2 = ((3(-2)^2) * (1^2 + 1) - ((-2)^3) * (-2)) / (1^2 + 1)^2 = ((3 * 4) * (1 + 1) - (-8) * (-2)) / (1 + 1)^2 = (12 * 2 - 16) / 4 = (24 - 16) / 4 = 8 / 4 = 2

Таким образом, значение производной функции y = (x - 1)^3 / (x^2 + 1) в точке x₀ = -1 равно 2.