Question

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника 61 см, площадь его 330 см2. Найти длины катетов

Answer 1

$\left \{ {{ x^{2} +y^{2}=61^{2}} \atop {x*y=2*330}} \right.$
первое : теорема пифагора, второе следует из того что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов
$\left \{ {{ x^{2} +y^{2}=61^{2}} \atop {x= \frac{660}{y}}} \right.$
$\left \{ {{( \frac{660}{y})^{2} +y^{2}=61^{2}} \atop {x= \frac{660}{y}}} \right.$
$\left \{ {{660^{2} +y^{4}=61^{2}*y^{2}} \atop {x= \frac{660}{y}}} \right.$
$\left \{ {{ y^{4}-61^{2}*y^{2}+660^{2}=0} \atop {x= \frac{660}{y}}} \right.$
$\left \{ {{(y^{2}-121)(y^{2}-3600)=0} \atop {x= \frac{660}{y}}} \right.$
y=11 y=60
соответствующие х=60 и 11
другие решения у(отрицательные) отбрасываем, мы же ищем длину
Ответ: катеты 11 и 60 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для площади прямоугольного треугольника и длины гипотенузы.

Пусть a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы. Тогда площадь S прямоугольного треугольника равна:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

и гипотенуза c связана с катетами a и b следующим образом:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

У нас есть информация о длине гипотенузы (c = 61 см) и площади треугольника (S = 330 см²). Мы можем воспользоваться этой информацией, чтобы выразить одну из переменных через другие и решить систему уравнений.

1. Выразим a и b через c: \[ a = \sqrt{c^2 - b^2} \]

2. Подставим это выражение для a в формулу площади S: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \sqrt{c^2 - b^2} \]

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной (b), которое мы можем решить для нахождения длины одного из катетов. Однако это уравнение нелинейное, и его решение может потребовать использование методов численного анализа или графического метода.

Мы также можем воспользоваться фактом, что \( S = \frac{1}{2}ab \) и заменить выражение для a в эту формулу, чтобы получить квадратное уравнение относительно b.

В результате этого анализа мы сможем найти длины катетов. Однако, так как это уравнение нелинейное, его решение может потребовать использование программного обеспечения или калькулятора с численными методами.