Question

Знайти розв'язок рівняння x^{2} dy- y^{2} dx=0 y(1/2)=1/3

Answer 1

$x^{2} dy= y^{2} dx\\ \frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2}\\ \int \frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2}\\ -\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}+C_1\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{x}+C\\ y( \frac{1}{2})= \frac{1}{3} \ \Rightarrow 3=2+C\ \Rightarrow C=1\\ \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{x}+1\\ y= \frac{x}{x+1}$

Answer 2

Вам нужно решить дифференциальное уравнение \(x^2 \frac{dy}{dx} - y^2 + 1 = 0\) с начальным условием \(y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}\).

Давайте решим уравнение. Для начала, преобразуем его:

\[x^2 \frac{dy}{dx} - y^2 + 1 = 0\]

Выразим \(\frac{dy}{dx}\):

\[x^2 \frac{dy}{dx} = y^2 - 1\]

\[\frac{1}{y^2 - 1} dy = \frac{1}{x^2} dx\]

Теперь проинтегрируем обе стороны:

\[\int \frac{1}{y^2 - 1} dy = \int \frac{1}{x^2} dx\]

Левая часть:

\[\frac{1}{2} \ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|\]

Правая часть:

\[-\frac{1}{x} + C_1\]

Где \(C_1\) — постоянная интеграции.

Теперь объединим обе части уравнения:

\[\frac{1}{2} \ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right| = -\frac{1}{x} + C_1\]

Теперь применим начальное условие \(y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}\):

\[\frac{1}{2} \ln\left|\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}\right| = -\frac{1}{\frac{1}{2}} + C_1\]

Упростим:

\[\frac{1}{2} \ln\left|\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}\right| = -2 + C_1\]

\[\frac{1}{2} \ln\left|\frac{-1}{2}\right| = -2 + C_1\]

\[\ln\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right| = -2 + C_1\]

\[ \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -2 + C_1\]

\[C_1 = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 2\]

Таким образом, окончательное решение уравнения:

\[\frac{1}{2} \ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right| = -\frac{1}{x} + \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 2\]

Это уравнение определяет функцию \(y(x)\).