Question

Решите, пожалуйста, тема "показательные уравнения" 1) sqrt((3 - 6^x)^2) + sqrt((6 - 6^x) * (11 - 6^x)) = 6^x - 3 2) 2^(3*x - 0,5) + 1/sqrt(2) = 1 + 2^(-3*x) 3) 3^(2*x)/100^x = 2 * (0,3)^x + 3

Answer 1

Решение на картинках....

Answer 2

Давайте решим уравнение по частям, разбив его на подзадачи.

Итак, дано уравнение: \[ \sqrt{(3 - 6^x)^2} + \sqrt{(6 - 6^x) \cdot (11 - 6^x)} = 6^x - 3 + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + 2^{-3x + 0.5} + \frac{1}{2^x} + \frac{3^{2x}}{100^x} = 2 \cdot (0.3)^x + 3 \]

Давайте обозначим \( y = 6^x \), чтобы упростить запись.

1. \[ \sqrt{(3 - y)^2} + \sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)} = y - 3 + \frac{1}{\sqrt{2}} \] 2. \[ 1 + 2^{-3x + 0.5} + \frac{1}{2^x} + \frac{3^{2x}}{100^x} = 2 \cdot (0.3)^x + 3 \]

Первое уравнение: \[ \sqrt{(3 - y)^2} + \sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)} = y - 3 + \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Раскроем корни: \[ |3 - y| + \sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)} = y - 3 + \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \(3 - y \geq 0\)

В этом случае уравнение преобразуется в: \[ 3 - y + \sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)} = y - 3 + \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Разделим уравнение на \( \sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)} \) и переместим все слагаемые на одну сторону: \[ \frac{3 - y}{\sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)}} + 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней: \[ \left(\frac{3 - y}{\sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)}} + 1\right)^2 = \frac{1}{2} \]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \( y \).

Случай 2: \(3 - y < 0\)

В этом случае уравнение преобразуется в: \[ y - 3 + \sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)} = y - 3 + \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Вычтем \( y - 3 \) с обеих сторон и разделим на \( \sqrt{(6 - y) \cdot (11 - y)} \): \[ 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Это уравнение не имеет смысла в реальных числах, так как оно неверное.

Второе уравнение: \[ 1 + 2^{-3x + 0.5} + \frac{1}{2^x} + \frac{3^{2x}}{100^x} = 2 \cdot (0.3)^x + 3 \]

Давайте упростим уравнение.

\[ 1 + 2^{-3x + 0.5} + \frac{1}{2^x} + \frac{3^{2x}}{100^x} = 2 \cdot (0.3)^x + 3 \]

\[ 2^{-3x + 0.5} + \frac{1}{2^x} + \frac{3^{2x}}{100^x} = 2 \cdot (0.3)^x + 2 \]

Теперь подберем численное решение для этого уравнения.

Третье уравнение: \[ \frac{3^{2x}}{100^x} = 2 \cdot (0.3)^x \]

Умножим обе стороны на \(100^x\):

\[ 3^{2x} = 2 \cdot (0.3)^x \cdot 100^x \]

Разложим \(100^x\) и упростим уравнение:

\[ 3^{2x} = 2 \cdot (0.3)^x \cdot 10^{2x} \]

\[ 3^{2x} = 2 \cdot 3^{2x} \]

\[ 1 = \frac{2}{3^{2x}} \]

\[ 3^{2x} = 2 \]

\[ x = \frac{1}{2} \]

Таким образом, \( x = \frac{1}{2} \) является решением системы уравнений. Проверим, подставив это значение обратно в исходное уравнение.