Question

В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член равен 50,а сумма первых трех её членов равна 62. Найдите третий член прогрессии

Answer 1

По условию $b_1=50,\ b_1+b_2+b_3=62.$ Следовательно, 
$b_2+b_3=12;\ m.e.\ b_1q+b_1q^2=12. \\ 50q+50q^2-12=0 \\ 25q^2+25q-6=0 \\ D=25^2+25*24=25(25+24)=25*49=(7*5)^2=35^2 \\ q=\dfrac{-25 \pm 35}{50}$
$q=- \frac{6}{5}$ или $q= \frac{1}{5}$
Т.к. по условию прогрессия знакочередующаяся, то q<0 => $q=- \frac{6}{5}$
$b_3=b_1^2=50*(- \frac{6}{5} )^2=72$

Answer 2

Давайте обозначим через \(a\) первый член геометрической прогрессии, через \(r\) - её знаменатель (отношение каждого члена к предыдущему).

Известно, что первый член \(a\) равен 50. Также известно, что сумма первых трех членов равна 62. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии выражается формулой:

\[ S_3 = a + ar + ar^2 \]

Мы знаем, что \(a = 50\), поэтому подставим это значение:

\[ 62 = 50 + 50r + 50r^2 \]

Теперь решим это уравнение для нахождения значения \(r\). Уравнение примет вид:

\[ 50r^2 + 50r + (50 - 62) = 0 \]

\[ 50r^2 + 50r - 12 = 0 \]

Решение этого квадратного уравнения можно найти с использованием дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 50\), \(b = 50\), \(c = -12\). Подставим значения:

\[ D = 50^2 - 4(50)(-12) \]

\[ D = 2500 + 2400 \]

\[ D = 4900 \]

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ r_{1,2} = \frac{-50 \pm \sqrt{4900}}{2(50)} \]

\[ r_{1,2} = \frac{-50 \pm 70}{100} \]

Таким образом, у нас есть два значения \(r\):

\[ r_1 = \frac{20}{100} = 0.2 \]

\[ r_2 = \frac{-120}{100} = -1.2 \]

Так как геометрическая прогрессия не может иметь отрицательный знаменатель, то \(r = 0.2\).

Теперь, когда у нас есть значение \(r\), мы можем найти третий член прогрессии, используя формулу:

\[ a_3 = ar^2 \]

\[ a_3 = 50 \cdot (0.2)^2 \]

\[ a_3 = 50 \cdot 0.04 \]

\[ a_3 = 2 \]

Таким образом, третий член геометрической прогрессии равен 2.