Question

Решите уравнение 7sin^2 x+8cosx-8=0

Answer 1

$7sin^{2} x+8cosx-8=0,$
$7(1-cos^{2}x )+8cosx-8=0,$
$-7cos^{2}x+8cosx-1=0,$
$7cos^{2}x-8cosx+1=0,$
Пусть $cos x=t$, тогда
$7 t^{2} -8t+1=0,$
$D= 8^{2}-4*7=64-28=36$
$t1= \frac{8-6}{14}= \frac{1}{7}, t2=\frac{8+6}{14}=1$
Вернемся к замене:
$cosx= \frac{1}{7}$⇒$x=+-arccos \frac{1}{7} +2 \pi k$
или 
$cosx=1$⇒$x=2 \pi k$

Answer 2

Для решения уравнения 7sin^2(x) + 8cos(x) - 8 = 0, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями и алгебраическими методами. Давайте решим его шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразование уравнения с использованием основных тригонометрических идентичностей. Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x), чтобы получить уравнение только с одной тригонометрической функцией:

7(1 - cos^2(x)) + 8cos(x) - 8 = 0

Шаг 2: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

7 - 7cos^2(x) + 8cos(x) - 8 = 0

-7cos^2(x) + 8cos(x) - 1 = 0

Шаг 3: Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно cos(x):

-7cos^2(x) + 8cos(x) - 1 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент перед первым слагаемым стал положительным:

7cos^2(x) - 8cos(x) + 1 = 0

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 7, b = -8 и c = 1.

cos(x) = (-(-8) ± √((-8)^2 - 4 * 7 * 1)) / (2 * 7)

cos(x) = (8 ± √(64 - 28)) / 14

cos(x) = (8 ± √36) / 14

Шаг 5: Найдем значения cos(x):

cos(x) = (8 + 6) / 14 = 14 / 14 = 1

или

cos(x) = (8 - 6) / 14 = 2 / 14 = 1/7

Шаг 6: Найдем значения x, используя обратную тригонометрическую функцию cos(x):

x = arccos(1) = 0

или

x = arccos(1/7)

Таким образом, уравнение 7sin^2(x) + 8cos(x) - 8 = 0 имеет два решения: x = 0 и x = arccos(1/7).