Question

Дима меняет число, записанное на доске, по следующим правилам: если число делится на 3, то он вычитает из него 2; если число дает остаток 1 при делении на 3, то он вычитает из него 1; если число дает остаток 2 при делении на 3, то он прибавляет к нему 2. Дима начинает с числа 1001. Какое число будет на доске после 300 таких операций?

Answer 1

1...Если 1001:3=333 + 2/3; остаток 2, Значит первая операция операция будет: прибавление 2
1001 +2=1003
2...1003:3=334+1/3; остаток 1, Значит вторая операция будет: вычитание 1
1003 -1=1002
3...1002:3=334 делится нацело Значит третья операция будет: вычитание 2
1002-2=1000
4....1000:3=333+1/3; остаток 1, Значит четвертая операция будет: вычитание 1
1000 -1=999
5...999:3=333 делится нацело, Значит пятая операция будет: вычитание 2
999-2=997
и т. д. дальше по кругу идут остатки 1 и 0, 1 и 0.
Теперь необходимо разобраться в количестве операций.
0) Исходное 1001; 1) (+2)1003; 2) (-1)1002; 3) (-2)1000; 4) (-1)999; 5) (-2)997
всего 300 операций
Результат после двух операций (начиная со второй) меньше на 3 от предыдущего числа

3-ая (3-1=2 = 2*1) операция получилось 1003 - 3*1 = 1000
5-ая (5-1=4 = 2*2) операции получилось 1003 - 3*2 = 997
n-ная (n-1==2*(n-1)/2) операции получится 1003 - 3*(n-1)/2
299(299-1=298= 2*149) операций получится 1003 - 3*149 = 1003 - 447 = 556
300 оп = 556 -1 =555

Answer 2

Давайте рассмотрим, как изменяется число на каждом шаге.

1. Начальное число: 1001

2. Поскольку 1001 дает остаток 1 при делении на 3, мы вычитаем из него 1. Новое число: 1000

3. Так как 1000 делится на 3, мы вычитаем из него 2. Новое число: 998

4. Поскольку 998 дает остаток 2 при делении на 3, мы прибавляем к нему 2. Новое число: 1000

5. И так далее.

Мы видим, что число будет чередоваться между 998 и 1000 на каждом шаге. Это происходит потому, что на первом шаге мы вычитаем 1, на втором - 2, на третьем - 2, и так далее.

Теперь, если продолжить этот процесс 300 раз, число на доске будет находиться в том же состоянии, как и после 2-го шага (после четного числа операций). Таким образом, после 300 таких операций число на доске будет равно 998.