Question

Решите неравенство: 4^(x)-10*2^(x)+16(меньше или равно) 0

Answer 1

-----------------------------

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте проведем замену переменной, чтобы привести его к более удобному виду.

Обозначим z = 2^x. Тогда неравенство примет вид:

4^x - 10*2^x + 16 ≤ 0

Теперь заменим 4^x на (2^x)^2:

z^2 - 10z + 16 ≤ 0

Это квадратное неравенство. Чтобы решить его, найдем его корни:

D = (-10)^2 - 4 * 1 * 16 = 100 - 64 = 36

Корни уравнения:

z1 = (10 + √36) / 2 = (10 + 6) / 2 = 16/2 = 8 z2 = (10 - √36) / 2 = (10 - 6) / 2 = 4/2 = 2

Теперь посмотрим на знаки между корнями и за пределами корней.

При z < 2 неравенство не выполняется, так как все слагаемые положительны. При 2 ≤ z ≤ 8 неравенство выполняется, так как знак между корнями отрицательный. При z > 8 неравенство не выполняется, так как все слагаемые положительны.

Теперь восстановим переменную x:

2^x ≤ 2 x ≤ 1

2^x ≤ 8 x ≤ 3

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал (-∞, 1] объединенный с интервалом (-∞, 3].