Question

Вычислить: cos150 sin315 ctg390 sin225 cos300 tg135

Answer 1

Cos150 = cos(180-150)=-cos30= -(корень из 3)/2
sin315 = sin(360-315) = - sin45= -(корень из 2)/2
ctg390 = ctg(360+30) = ctg30= корень из 3
sin225 = sin(180+45)= -sin45 = -(корень из 2)/2
cos300 = cos(360-60)= cos60 = 1/2
tg135 = tg(180-45) = -tg45 = -1

Answer 2

Давайте вычислим каждое из значений поочередно:

1. \( \cos{150} \):

Используем свойство косинуса для угла \( \cos(180 - \theta) = -\cos(\theta) \):

\[ \cos{150} = -\cos(180 - 150) = -\cos{30} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. \( \sin{315} \):

Используем свойство синуса для угла \( \sin(360 - \theta) = \sin(\theta) \):

\[ \sin{315} = \sin(360 - 315) = \sin{45} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

3. \( \cot{390} \):

Используем свойство котангенса для угла \( \cot(180 + \theta) = -\cot(\theta) \):

\[ \cot{390} = -\cot(180 + 210) = -\cot{210} \]

Для нахождения \( \cot{210} \) можно воспользоваться тем, что \( \cot{\theta} = \frac{1}{\tan{\theta}} \):

\[ \cot{210} = \frac{1}{\tan{210}} \]

Используем свойство тангенса для угла \( \tan(180 + \theta) = -\tan{\theta} \):

\[ \tan{210} = -\tan(180 + 30) = -\tan{30} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, \( \cot{210} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

4. \( \sin{225} \):

Используем свойство синуса для угла \( \sin(180 + \theta) = -\sin{\theta} \):

\[ \sin{225} = -\sin(180 + 45) = -\sin{45} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

5. \( \cos{300} \):

Используем свойство косинуса для угла \( \cos(360 - \theta) = \cos{\theta} \):

\[ \cos{300} = \cos(360 - 300) = \cos{60} = \frac{1}{2} \]

6. \( \tan{135} \):

Используем свойство тангенса для угла \( \tan(180 - \theta) = -\tan{\theta} \):

\[ \tan{135} = -\tan(180 - 135) = -\tan{45} = -1 \]

Теперь сложим все значения:

\[ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - 1 \]

Сначала объединим подобные члены:

\[ -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - 1 \]

Теперь найдем общий знаменатель (6):

\[ -\frac{3\sqrt{3}}{6} - \frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{3\sqrt{2}}{6} - \frac{2\sqrt{2}}{6} + \frac{3}{6} - \frac{6}{6} \]

Сложим числители:

\[ -\frac{5\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - 3}{6} \]

Таким образом, значение выражения \( \cos{150} + \sin{315} + \cot{390} + \sin{225} + \cos{300} + \tan{135} \) равно:

\[ -\frac{5\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - 3}{6} \]