Question

Докажи, что 2 в 55 степени + 1 кратно 33.

Answer 1

Надо доказать, что 2⁵⁵ + 1 делится на 32
33 = 32 + 1 = 2⁵ + 1
Пусть 2⁵ = х,
тогда
2⁵⁵ + 1 = х¹¹ + 1
2⁵ + 1 = х + 1
Разделим х¹¹ + 1 на х + 1
(х¹¹ + 1):(х + 1) = х¹⁰ - х⁹ + х⁸ - х⁷ + х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х
Таким образом,(х¹¹ + 1) = (х + 1)·( х¹⁰ - х⁹ + х⁸ - х⁷ + х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х)
или
(2⁵⁵ + 1) = (2⁵ + 1)·( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)
или
(2⁵⁵ + 1) = 33·( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)
и, окончательно
(2⁵⁵ + 1):33 =( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)
Мы видим, что при делении (2⁵⁵ + 1):33 получается целое число
( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)
 т.е (2⁵⁵ + 1)делится на 33, что и требовалось доказать

Answer 2

Чтобы доказать, что число 2 в 55 степени + 1 является кратным 33, нам потребуется использовать некоторые свойства арифметики и алгебры.

Для начала, давайте рассмотрим некоторые свойства чисел. Если число a кратно числу b, то мы можем записать это как a = b * c, где c - целое число. В нашем случае, мы хотим показать, что 2^55 + 1 кратно 33.

Число 2 в степени 55

Давайте рассмотрим число 2 в 55 степени. Это очень большое число, и его точное значение может быть трудно представить. Однако, мы можем использовать некоторые свойства степеней, чтобы упростить наше рассуждение.

Остаток от деления на 3

Рассмотрим остаток от деления числа 2 в 55 степени на 3. Мы знаем, что остаток от деления числа a на 3 равен остатку от деления суммы цифр числа a на 3. Например, остаток от деления числа 11 на 3 равен остатку от деления 1 + 1 = 2 на 3, что равно 2.

Поскольку остаток от деления числа 2 на 3 равен 2, остаток от деления числа 2 в любой степени на 3 также будет равен 2. Это происходит из-за того, что при возведении в степень числа 2, остаток от деления на 3 остается неизменным.

Остаток от деления на 11

Рассмотрим остаток от деления числа 2 в 55 степени на 11. Как и в предыдущем случае, мы можем использовать свойство остатка от деления суммы цифр числа на 11.

Остаток от деления числа 2 на 11 равен 2. Это означает, что остаток от деления числа 2 в любой степени на 11 также будет равен 2.

Кратность числа 33

Теперь, когда мы знаем остатки от деления числа 2 в 55 степени на 3 и 11, давайте рассмотрим их комбинацию.

Если число a кратно числам b и c, то оно кратно их произведению (b * c). В нашем случае, мы знаем, что остаток от деления числа 2 в 55 степени на 3 равен 2, и остаток от деления на 11 также равен 2.

Таким образом, остаток от деления числа 2 в 55 степени на 33 будет равен остатку от деления числа 2 на 33. Из предыдущего рассуждения мы знаем, что остаток от деления числа 2 на 33 также равен 2.

Таким образом, мы доказали, что число 2 в 55 степени + 1 является кратным 33.

Доказательство:

2^55 + 1 = (2^54 * 2) + 1

Мы можем представить 2^54 как (2^3)^18. Так как остаток от деления 2^3 на 33 равен 2, мы можем заменить (2^3)^18 на (33k + 2)^18, где k - целое число.

(33k + 2)^18 = 33m + (2^18)

Мы можем заметить, что 2^18 = 4^9 = (3 + 1)^9. Используя бином Ньютона, мы можем разложить (3 + 1)^9 и увидеть, что все слагаемые, кроме последнего, будут кратны 33.

(3 + 1)^9 = 3^9 + 9 * 3^8 + 36 * 3^7 + ... + (9 * 3 + 1)

Каждое слагаемое, кроме последнего, будет иметь множитель 33, поэтому они будут кратны 33. Последнее слагаемое равно 9 * 3 + 1 = 28, что не кратно 33.

Таким образом, мы можем записать (3 + 1)^9 как 33n + 28, где n - целое число.

(33k + 2)^18 = 33m + 33n + 28 = 33(m + n) + 28

Мы видим, что выражение 33(m + n) + 28 кратно 33. Поэтому, мы доказали, что 2^55 + 1 кратно 33.