Question

Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите объем конуса

Answer 1

Рисунок прикреплен.

Дано: конус, ВС=12 см, ∠НСВ=30°

Найти: объем конуса

Решение: по условию образующая конуса наклонена к плоскости под углом в 30°. Это значит, что угол между образующей и радиусом основания конуса 30°.

Из вершины конуса опустим высоту. Обозначим её ВН.

ΔВНС прямоугольный.

У него известна гипотенуза ВС=12 и ∠НСВ=30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30° в два раза меньше гипотенузы.

$BH=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6$

По теореме Пифагора найдем второй катет ΔВНС. Он же является радиусом основания конуса.

$HC=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}$

Объем конуса вычисляется по формуле: $V=\frac{1}{3}\pi R^2h$, где R - радиус основания, h - высота конуса.

$V=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi (\sqrt{108})^2*6 =108*2\pi =216\pi$

Ответ: 216π см³

Answer 2

Для нахождения объема конуса нам необходимы два параметра: радиус основания и высота конуса. В данном случае у нас дан угол наклона к плоскости основания (30 градусов) и образующая конуса (12 см).

1. Радиус основания (r):

Мы знаем, что образующая конуса (l) и радиус основания (r) связаны следующим образом:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \]

где \( l \) - образующая конуса, \( r \) - радиус основания, \( h \) - высота конуса.

В нашем случае \( l = 12 \) см.

\[ 12 = \sqrt{r^2 + h^2} \]

2. Угол наклона к плоскости основания (30 градусов):

Угол между образующей и осью конуса равен углу наклона к плоскости основания. Так как угол наклона 30 градусов, мы имеем прямоугольный треугольник, и тангенс этого угла определен как:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{r}{h} \]

3. Решение:

Найдем выражение для \( h \) из уравнения с тангенсом:

\[ \frac{r}{h} = \tan(30^\circ) \]

\[ h = \frac{r}{\tan(30^\circ)} \]

Теперь мы можем подставить это значение \( h \) в уравнение с образующей:

\[ 12 = \sqrt{r^2 + \left(\frac{r}{\tan(30^\circ)}\right)^2} \]

Решив это уравнение, мы найдем значение радиуса основания (\( r \)).

После того как найден радиус основания, мы можем использовать формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

где \( \pi \) - число Пи (приблизительно 3.14159).

Таким образом, первым шагом будет нахождение радиуса основания, а затем используем его для расчета объема конуса.