Question

Розв’яжіть у цілих числах рівняння 1! + 2! + . . . + х! = у2.

Answer 1

Решение
1! + 2! + . . . + х! = у².
Для x=1 y=1 [1!=1²]
Для x=2 нет решения [1!+2!=3]
Для x=3 y=3 [1!+2!+3!=3²]
3!+4!=30, а начиная с 5! все факториалы делятся на 10.
Таким образом, сумма 3!+4!+5!+...x! делится на 10. Таким образом сумма факториалов заканчивается на 3 и не может быть квадратом.
Т.е. ответа всего два: 1 и 3.

Answer 2

Здається, у вашому рівнянні є деякі непорозуміння. Спочатку дозвольте мені пояснити, що означають символи в вашому виразі:

1. `n!` (читається як "n факторіал") - це добуток всіх натуральних чисел від 1 до n. Наприклад, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

2. Рівняння має вигляд: 1! + 2! + ... + x! = y^2.

Тепер давайте розглянемо, як ми можемо розв'язати це рівняння.

Почнемо з розгляду перших декількох значень факторіалів:

- 1! = 1 - 2! = 2 - 3! = 6 - 4! = 24 - 5! = 120

Якщо ми додамо їх, отримаємо: 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153.

Тепер давайте перевіримо квадрати натуральних чисел, щоб знайти таке число, яке є квадратом суми факторіалів. Ми бачимо, що 153 не є квадратом жодного цілого числа.

Отже, виглядає так, що в цьому конкретному випадку рівняння 1! + 2! + ... + x! = y^2 немає цілочислових розв'язків. Це може бути досить складне завдання, і не завжди існують цілочислові розв'язки для подібних рівнянь.