Question

Составить уравнение плоскости в отрезках если она проходит через точку М(6.-10.1) и отсекает на оси Ох атрезок а=-3 а на оси Оz-отрезок с=2

Answer 1

Каждое уравнение первой степени



(в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (D=0), то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из текущих координат (то есть какой-либо из коэффициентов A, B, C равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свобдный член, то плоскость проходит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов A, B, C равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Если в уравнении плоскости



ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду

 (1)

где

, , 

суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости «в отрезках».

Answer 2

Уравнение плоскости можно записать в виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B, C и D - коэффициенты плоскости.

Из условия задачи известно, что плоскость проходит через точку M(6, -10, 1) и отсекает на оси Oх отрезок a = -3, а на оси Oz отрезок с = 2.

Значит, точка на оси Oх, через которую проходит плоскость, имеет координаты (a, 0, 0) = (-3, 0, 0), а точка на оси Oz имеет координаты (0, 0, с) = (0, 0, 2).

Таким образом, у нас есть три точки: M(6, -10, 1), A(-3, 0, 0) и B(0, 0, 2).

Вектор нормали к плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости. Возьмем векторы MA и MB:

MA = (6 - (-3), -10 - 0, 1 - 0) = (9, -10, 1) MB = (0 - (-3), 0 - 0, 2 - 0) = (3, 0, 2)

Теперь найдем векторное произведение векторов MA и MB:

N = MA x MB = (0, -27, 30) - (0, 18, -27) = (0, -45, 57)

Таким образом, вектор нормали к плоскости имеет координаты (0, -45, 57).

Теперь подставим координаты точки M и вектор нормали в уравнение плоскости:

0*x + (-45)*y + 57*z + D = 0

-45y + 57z + D = 0

Найдем D, подставив координаты точки M:

-45*(-10) + 57*1 + D = 0

450 + 57 + D = 0

D = -507

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку M(6, -10, 1) и отсекающей на оси Oх отрезок a = -3 и на оси Oz отрезок с = 2, имеет вид:

-45y + 57z - 507 = 0