Question

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°.Докажите, что трапеция-равнобедренная. ПОМОГИТЕ ПРОШУ ВАС!!!!!! на вас вся надежда((((((

Answer 1

Нарисуем трапецию ABCD, где AD и ВС основания трапеции.
Продолжим сторону AD  до точки N, где  DN=BC.
Рассмотрим получившийся треугольник ΔACN.
АС= AD + ВС  по условию
AN=AD+DN=AD+BC=AC, следовательно ΔACN - равнобедренный
BCDN - параллелограмм (BC+DN, BC║DN) ⇒ OD║CN ⇒ ∠AOD =∠ACN=∠CNA=60°
A значит треугольник ΔAOD - равносторонний (2 угла по 60°)
ΔBOC равносторонний (по трем углам 60°)
Отсюда диагонали BD=AC.
Следовательно  ΔCOD = ΔBOA (AO=OD, OB=OC, ∠BOA=∠COD)
⇒AB=CD ⇒ трапеция равнобедренная
Ч.т.д.

Answer 2

Давайте рассмотрим трапецию с диагоналями AC и BD, где AC - длина одной из диагоналей, а AB и CD - длины оснований.

Условие гласит, что AC = AB + CD, и угол между диагоналями равен 60°.

Предположим, что трапеция ABCD не является равнобедренной. Тогда основания AB и CD имеют разные длины.

Введем обозначения: - Пусть AB = a (длина меньшего основания). - Пусть CD = b (длина большего основания). - Пусть AC = c (длина диагонали).

Таким образом, условие AC = AB + CD переписывается как c = a + b.

Также у нас есть угол между диагоналями ABCD, который равен 60°.

Теперь воспользуемся законом косинусов для треугольника ABC (поскольку мы знаем длины сторон a, b и угол между ними):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60°) \]

\[ c^2 = a^2 + b^2 - ab \]

Теперь мы можем подставить равенство c = a + b:

\[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 - ab \]

Раскроем скобки:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 - ab \]

Выразим ab через известные значения:

\[ 2ab = -ab \]

\[ 3ab = 0 \]

Таким образом, получается, что ab = 0. Это возможно только в том случае, если одна из сторон a или b равна 0. Но по условию a и b - это длины оснований трапеции, и они не могут быть равны 0.

Следовательно, наше предположение о том, что трапеция ABCD не является равнобедренной, неверно. Таким образом, трапеция ABCD является равнобедренной, что и требовалось доказать.