Question

X^3+2x^2+x+3=0 решить уравнение

Answer 1

X^3+2x^2+x+3=0
(x-3)(x^2-1)=0
1)x-3=0
   x=3
2)x^2-1=0
   x^2=1
   x1=1
   x2=-1
Ответ: три корня/

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \(x^3 + 2x^2 + x + 3 = 0\).

Для начала, давайте поищем рациональные корни этого уравнения с помощью рационального корня теоремы. Эта теорема утверждает, что если у уравнения с целыми коэффициентами есть рациональный корень \(\frac{p}{q}\), то \(p\) делится на коэффициент при старшей степени, а \(q\) делится на коэффициент при свободном члене.

У нас уравнение \(x^3 + 2x^2 + x + 3 = 0\), где коэффициент при старшей степени (1) и коэффициент при свободном члене (3). Таким образом, рациональный корень должен быть делителем 3. Попробуем различные варианты:

1. \(x = 1\) (так как 1 делится на 3) Подставим \(x = 1\) в уравнение: \(1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 + 2 + 1 + 3 = 7\) Таким образом, \(x = 1\) не является решением.

2. \(x = -1\) (так как -1 делится на 3) Подставим \(x = -1\) в уравнение: \((-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 1 + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3\) Таким образом, \(x = -1\) не является решением.

3. \(x = 3\) (так как 3 делится на 3) Подставим \(x = 3\) в уравнение: \(3^3 + 2 \cdot 3^2 + 3 + 3 = 27 + 18 + 3 + 3 = 51\) Таким образом, \(x = 3\) не является решением.

4. \(x = -3\) (так как -3 делится на 3) Подставим \(x = -3\) в уравнение: \((-3)^3 + 2 \cdot (-3)^2 - 3 + 3 = -27 + 18 - 3 + 3 = -9\) Таким образом, \(x = -3\) является решением.

Итак, мы нашли один рациональный корень уравнения: \(x = -3\). Теперь мы можем разделить уравнение на \(x + 3\) с использованием синтетического деления или деления полиномов:

\[ (x^3 + 2x^2 + x + 3) / (x + 3) = x^2 - x + 1 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение \(x^2 - x + 1 = 0\), которое можно решить стандартными методами, например, используя квадратное уравнение или метод полного квадрата. Однако, это уравнение не имеет рациональных корней, и его корни будут комплексными числами.

Таким образом, решение исходного кубического уравнения \(x^3 + 2x^2 + x + 3 = 0\) включает рациональный корень \(x = -3\) и два комплексных корня, которые могут быть найдены с использованием методов решения квадратных уравнений.