Question

Площадь основания конуса 9п см^2, площадь полной поверхности его 24п см^2. Найти объём конуса помогите

Answer 1

Площадь основания конуса равна: So = πR².
Отсюда R = √(So/π) = √(9π/π) = √9 = 3 см.
Площадь боковой поверхности Sбок = πRL.
Отсюда образующая L = Sбок/(πR) = (24π-9π)/(π*3) = 15/3 = 5 см.
Высота конуса Н = √(L² - R²) = √(25-9) = √16 = 4 см.
Объём конуса равен V = (1/3)So*H = (1/3)9π*4 = 12π см³.

Answer 2

Конус - это геометрическое тело, у которого основание является кругом, а боковая поверхность соединяет все точки основания с вершиной конуса. Давайте обозначим радиус основания конуса как \(r\), высоту как \(h\) и образующую конуса как \(l\).

Площадь основания конуса \(S_{\text{осн}}\) вычисляется по формуле для площади круга:

\[S_{\text{осн}} = \pi r^2\]

Площадь полной поверхности конуса \(S_{\text{полн}}\) вычисляется как сумма площади основания и боковой поверхности:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

Боковая поверхность конуса образована боковой стороной, которая представляет собой развертку боковой поверхности конуса в виде сектора круга. Площадь боковой поверхности можно выразить формулой:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot r\]

где \(l\) - образующая конуса.

Теперь у нас есть уравнение для площади полной поверхности:

\[S_{\text{полн}} = \pi r^2 + \frac{1}{2} \cdot l \cdot r\]

В вашем случае \(S_{\text{полн}} = 24\pi \, \text{см}^2\) и \(S_{\text{осн}} = 9\pi \, \text{см}^2\).

Мы можем подставить значения и решить уравнение относительно \(r\) и \(l\):

\[24\pi = 9\pi + \frac{1}{2} \cdot l \cdot r\]

Упрощая:

\[15\pi = \frac{1}{2} \cdot l \cdot r\]

Теперь у нас есть уравнение, но оно имеет бесконечное количество решений, так как у нас две неизвестные (\(r\) и \(l\)). Для получения однозначного решения нам нужно дополнительное уравнение. Здесь мы можем использовать соотношение между \(r\), \(l\) и \(h\), которое задается теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания (\(r\)), половиной образующей (\(\frac{l}{2}\)), и высотой (\(h\)):

\[r^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = h^2\]

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 15\pi = \frac{1}{2} \cdot l \cdot r \\ r^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = h^2 \end{cases}\]

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значения \(r\), \(l\) и \(h\). После этого объем конуса \(V\) можно вычислить по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]