Question

В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

Answer 1

Пусть х чел имели 5 по всем предметам, тогда 4-х чел - только по рус и мат, 9-х чел - только по мат и ист,5-х чел - только по рус и истА 14-х-(4-х)-(5-х)=5+х чел - только по рус12-х-(4-х)-(9-х)=х-1 чел - только по мат23-х-(5-х)-(9-х)=9+х чел - только по истЗная что всего 35 чел, получимх+(4-х)+(9-х)+(5-х)+(5+х)+(х-1)+(9+х)=35х+4-х+9-х+5-х+5+х+х-1+9+х=35х=35-31х=4ответ 4 чел имели пятерки по трем предметам

Answer 2

Давайте решим эту задачу.

Обозначим: - \( A \) - количество учеников с пятерками по русскому языку, - \( B \) - количество учеников с пятерками по математике, - \( C \) - количество учеников с пятерками по истории.

Тогда по условию задачи: \[ |A| = 14, \] \[ |B| = 12, \] \[ |C| = 23. \]

Также у нас есть информация о пересечениях: \[ |A \cap B| = 4, \] \[ |B \cap C| = 9, \] \[ |A \cap C| = 5. \]

Мы также знаем, что в классе 35 учеников. Обозначим \( |U| \) - общее количество учеников: \[ |U| = 35. \]

Теперь мы можем воспользоваться принципом включения и исключения (ПВИ):

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|. \]

Так как ни один ученик не имеет пятерки по всем трем предметам, то \( |A \cap B \cap C| = 0 \). Теперь подставим известные значения:

\[ |A \cup B \cup C| = 14 + 12 + 23 - 4 - 9 - 5 + 0. \]

Выполняем арифметические операции:

\[ |A \cup B \cup C| = 31. \]

Таким образом, по принципу включения и исключения, 31 ученик имеет пятерки хотя бы по одному из предметов. Но у нас в классе всего 35 учеников, и ни один из них не имеет пятерки хотя бы по одному из предметов. Значит, остаётся 4 ученика, которые имеют пятерки по всем трем предметам.