Question

Sin^3 x+3*cos^3 x=2 cos x

Answer 1

$\sin^3x+3\cos^3x=2\cos x\\ \\ \sin^3x+\cos^3x+2\cos x(\cos^2x-1)=0\\ \\ \sin^2x(\sin x-\cos x)+\cos x(\cos^2x-\sin^2x)=0\\ \\ \sin^2x(\sin x-\cos x)-\cos x(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=0\\ \\ (\sin x-\cos x)(\sin^2 x-\cos x\sin x-\cos ^2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\sin x-\cos x=0~~~|:\cos x\ne 0\\ \\ tgx-1=0\\ \\ tgx=1\\ \\ x= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \sin^2x-\sin x\cos x-\cos^2x=0\\ \\ tg^2x-tgx-1=0$

Решим как квадратное уравнение относительно tg x.

$D=1+4=5\\ \\ tgx= \dfrac{1\pm \sqrt{5} }{2} ;~~~~\Rightarrow~~~~ x=arctg\bigg( \dfrac{1\pm \sqrt{5} }{2} \bigg)+ \pi n,n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать его в более удобную форму. Начнем с преобразования левой части уравнения:

\[ \sin^3(x) + 3\cos^3(x) = 2\cos(x) \]

Используем тригонометрическое тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \):

\[ \sin^3(x) + 3(1-\sin^2(x))^2 = 2(1-\sin^2(x)) \]

Раскроем скобки:

\[ \sin^3(x) + 3(1 - 2\sin^2(x) + \sin^4(x)) = 2 - 2\sin^2(x) \]

Теперь сгруппируем все члены в левой части уравнения:

\[ \sin^3(x) + 3 - 6\sin^2(x) + 3\sin^4(x) = 2 - 2\sin^2(x) \]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ 3\sin^4(x) - \sin^3(x) - 4\sin^2(x) + 1 = 0 \]

Это уравнение представляет квадратное уравнение относительно \( \sin^2(x) \). Давайте обозначим \( \sin^2(x) \) как \( t \):

\[ 3t^2 - t - 4t + 1 = 0 \] \[ 3t^2 - 5t + 1 = 0 \]

Теперь решим это уравнение относительно \( t \). Используем квадратное уравнение \( at^2 + bt + c = 0 \):

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} \] \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6} \] \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} \]

Таким образом, получаем два возможных значения \( \sin^2(x) \):

\[ t = \frac{5 + \sqrt{13}}{6} \] или \( t = \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \)

Теперь найдем \( \sin(x) \) для этих значений \( \sin^2(x) \):

Когда \( \sin^2(x) = \frac{5 + \sqrt{13}}{6} \):

\[ \sin(x) = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{13}}{6}} \] или \(-\sqrt{\frac{5 + \sqrt{13}}{6}}\)

Когда \( \sin^2(x) = \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \):

\[ \sin(x) = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{13}}{6}} \] или \(-\sqrt{\frac{5 - \sqrt{13}}{6}}\)

Исходное уравнение имеет четыре корня для \( x \) в интервале от \( 0 \) до \( 2\pi \). Это происходит из-за множества значений для \( \sin(x) \) при заданных значениях \( \sin^2(x) \).