Question

Докажите что разность между кубом нечетного числа и самим числом делится на 8

Answer 1

1)Обозначим нечетное число как (2n+1). Тогда (2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1).
Если в качестве n взять число больше 2, то произведение n(n+1) будет четным, т. е. неким 2m. Получим (2n+1)^2-1=4*2m=8m. т. е. разность между квадратом нечетного числа и единицей делится на 8, если это нечетное число больше или равно
2) А вот так попроще. Из равенства к^2-1=(к-1)(к+1) и условия, что к - нечетное число следует, что мы имеем дело с произведением двух последовательных четных чисел. Одно из них тогда делится на 4, а произведение на 8.

Answer 2

Ответьте подробно. Докажите, что разность между кубом нечетного числа и самим числом делится на 8.

Доказательство:

Пусть n - нечетное число. Тогда n можно представить в виде n = 2k + 1, где k - целое число.

Тогда куб n равен:

n^3 = (2k + 1)^3

= 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1

Разность между кубом n и самим числом равна:

n^3 - n = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - (2k + 1)

= 8k^3 + 12k^2 + 4k

= 8(k^3 + 3k^2 + k/2)

Заметим, что k^3 + 3k^2 + k/2 - целое число, так как k - целое число.

Тогда разность n^3 - n делится на 8, так как является произведением 8 и целого числа.

Q.E.D.