Question

Помогите решить (1 + cosx)•sinx =cos2x•sin2x.

Answer 1

(1+cosx)*sinx=cos2xsin2x
sinx=0 x=Пj
1+cosx=2cos2xcosx
1+cosx=2(2cos^2x-1)cosx
1+cosx=4cos^3x-2cosx
4cos^3x-3cosx=1
cos3x=1
x=2Пk/3

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

\[ (1 + \cos(x)) \cdot \sin(x) = \cos(2x) \cdot \sin(2x) \]

1. Используем тригонометрические тождества для преобразования выражений в уравнении.

Напомним некоторые тригонометрические тождества:

- \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\) - \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)

Заменим \(\cos(2x)\) и \(\sin(2x)\) в уравнении:

\[ (1 + \cos(x)) \cdot \sin(x) = (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \cdot (2\sin(x)\cos(x)) \]

2. Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ \sin(x) + \cos(x) \cdot \sin(x) = 2\sin(x)\cos^3(x) - 2\sin^3(x)\cos(x) \]

3. Теперь соберем все слагаемые с одной стороны уравнения:

\[ \sin(x) + \cos(x) \cdot \sin(x) - 2\sin(x)\cos^3(x) + 2\sin^3(x)\cos(x) = 0 \]

4. Упростим еще немного, выделив общий множитель \(\sin(x)\):

\[ \sin(x)(1 + \cos(x) - 2\cos^3(x) + 2\sin^2(x)\cos(x)) = 0 \]

5. Решим уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:

\[ \sin(x) = 0 \] - Это верно, когда \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.

\[ 1 + \cos(x) - 2\cos^3(x) + 2\sin^2(x)\cos(x) = 0 \] - Это уравнение требует более сложных шагов для решения. Однако, если мы учтем, что \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\), мы можем преобразовать его и решить:

\[ 1 + \cos(x) - 2\cos^3(x) + 2(1 - \cos^2(x))\cos(x) = 0 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 1 + \cos(x) - 2\cos^3(x) + 2\cos(x) - 2\cos^3(x) = 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ 1 + 2\cos(x) - 4\cos^3(x) = 0 \]

Теперь мы можем разделить на \(2\) и упростить:

\[ \frac{1}{2} + \cos(x) - 2\cos^3(x) = 0 \]

Теперь решим уравнение:

\[ \cos(x) - 2\cos^3(x) = -\frac{1}{2} \]

Решениями этого уравнения будут значения \(x\), соответствующие \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Итак, у нас есть два набора решений:

1. \(x = k\pi\) 2. \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.