Question

Найти производную: 1) y=arcctg6x 2)y=lnx*7x 3)y=ctgx/x^3

Answer 1

1)$- \frac{6}{36 x^{2} +1}$
2) 7 (log(x)+1)
3)-\frac{3 cot(x)}{ x^{4}} -\frac{csc^{2}(x)}{ x^{3}}

Answer 2

1) Для нахождения производной функции y = arcctg(6x) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Правило гласит: если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) * g'(x).

Здесь f(u) = arcctg(u) и g(x) = 6x.

Найдем производные f'(u) и g'(x): f'(u) = -1 / (1 + u^2) (производная arcctg(u)) g'(x) = 6 (производная 6x)

Теперь можем записать производную функции y: y' = f'(g(x)) * g'(x) = -1 / (1 + (6x)^2) * 6 = -6 / (1 + 36x^2)

2) Для нахождения производной функции y = ln(x) * 7x воспользуемся правилом производной произведения функций. Правило гласит: если y = f(x) * g(x), то y' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).

Здесь f(x) = ln(x) и g(x) = 7x.

Найдем производные f'(x) и g'(x): f'(x) = 1 / x (производная ln(x)) g'(x) = 7 (производная 7x)

Теперь можем записать производную функции y: y' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) = (1 / x) * (7x) + ln(x) * 7 = 7 + 7ln(x)

3) Для нахождения производной функции y = ctg(x) / x^3 воспользуемся правилом дифференцирования частного функций. Правило гласит: если y = f(x) / g(x), то y' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2.

Здесь f(x) = ctg(x) и g(x) = x^3.

Найдем производные f'(x) и g'(x): f'(x) = -1 / (sin(x))^2 (производная ctg(x)) g'(x) = 3x^2 (производная x^3)

Теперь можем записать производную функции y: y' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2 = (-1 / (sin(x))^2) * (x^3) - (ctg(x)) * (3x^2) / (x^3)^2 = (-x^3 / (sin(x))^2) - 3x^2 * ctg(x) / x^6 = -x / (sin(x))^2 - 3ctg(x) / x^4