Question

Дана функция f(x)=2x^3+3^2-1. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 2]. P.S. Срочно нужно. Помогите, пожалуйста.

Answer 1

Найдём точки экстремума:
$> <img src=$
Отметим их на координатной прямой и проверим знак производной на каждом интервале:
____+______-1______-_____0_____+_____
Промежутки возрастания:
$x\in (-\infty, -1) \cap(0, +\infty)$
Промежуток убывания:
$x\in (-1,0)$
Точка максимума:
$x_{max}=-1$
Точка минимума:
$x_{min}=0$
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на интервале. Для этого подставим в функцию границы интервала и точки экстремума:
$f(-1)=2(-1)^3+3(-1)^2-1=2*(-1)+3-1=\\=-2+3-1=0$
$f(0)=-1$
$f(2)=2*2^3+3*2^2-1=16+12-1=3$
Наибольшее значение = 3 при х=2, наименьшее = -1 при х=0

Answer 2

Давайте пошагово решим данную задачу.

Дана функция \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1 \).

а) Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума:

1. Находим производную функции: \[ f'(x) = 6x^2 + 6x \].

2. Находим критические точки (где производная равна нулю или не существует): \[ 6x^2 + 6x = 0 \]. Факторизуем: \[ 6x(x + 1) = 0 \]. Отсюда получаем две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -1 \).

3. Определяем знак производной на интервалах между критическими точками и за пределами: - Подставим \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)) в \( f'(x) \): \[ 6(-2)^2 + 6(-2) > 0 \]. Таким образом, функция возрастает на интервале \((-\infty, -1)\). - Подставим \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)) в \( f'(x) \): \[ 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) < 0 \]. Значит, функция убывает на интервале \((-1, 0)\). - Подставим \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)) в \( f'(x) \): \[ 6(1)^2 + 6(1) > 0 \]. Таким образом, функция возрастает на интервале \((0, \infty)\).

4. Находим точки экстремума: - Когда производная меняет знак с "+" на "-", это означает, что в данной точке функция имеет локальный максимум. Таким образом, у точки \( x = -1 \) есть локальный максимум. - Когда производная меняет знак с "-" на "+", это означает, что в данной точке функция имеет локальный минимум. Таким образом, у точки \( x = 0 \) есть локальный минимум.

б) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-1; 2]\):

1. Находим значения функции в концах отрезка и в найденных критических точках: - \( f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 \). - \( f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 \). - \( f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 1 = 16 + 12 - 1 = 27 \).

2. Сравниваем значения функции: - Наименьшее значение функции на отрезке \([-1; 2]\) равно -2 и достигается в точке \( x = -1 \). - Наибольшее значение функции на отрезке \([-1; 2]\) равно 27 и достигается в точке \( x = 2 \).

Таким образом, ответ на задачу:

а) Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума: - Функция возрастает на \((- \infty, -1)\) и \((0, \infty)\). - Функция убывает на \((-1, 0)\). - Точка экстремума: \(x = -1\) (локальный максимум), \(x = 0\) (локальный минимум).

б) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-1; 2]\): - Минимальное значение: -2 (в точке \(x = -1\)). - Максимальное значение: 27 (в точке \(x = 2\)).