Question

Упростить sin42*cos12-cos42*sin12-sin30

Answer 1

Sin(42 - 12) - sin30=sin20 -sin30=sin20- 1/2

Answer 2

Давайте упростим выражение: sin42*cos12 - cos42*sin12 - sin30.

Для начала, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения выражений синусов и косинусов.

Тригонометрические тождества, которые мы будем использовать: - sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) - sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) - cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) - cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Давайте применим эти тождества к нашему выражению:

sin42*cos12 - cos42*sin12 - sin30

Возьмем sin42 и cos42 и разложим их с использованием тождества sin(a + b):

sin(30 + 12)*cos12 - cos(30 + 12)*sin12 - sin30

Теперь применим тождества cos(a + b) и sin(a - b):

(sin30*cos12 + cos30*sin12)*cos12 - (cos30*cos12 - sin30*sin12)*sin12 - sin30

Продолжим раскрытие скобок и сократим подобные слагаемые:

sin30*cos^2(12) + cos30*sin(12)*cos(12) - cos30*cos^2(12) + sin30*sin(12)*sin(12) - sin30

Мы получили выражение с несколькими слагаемыми, которые можно упростить дальше. Воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

- cos^2(a) + sin^2(a) = 1 - sin(2a) = 2*sin(a)*cos(a)

Применим эти тождества к нашему выражению:

sin30*cos^2(12) + cos30*sin(12)*cos(12) - cos30*cos^2(12) + sin30*sin^2(12) - sin30

Заметим, что sin^2(12) + cos^2(12) = 1, и упростим выражение:

sin30 + cos30*sin(12)*cos(12) - cos30

Теперь посмотрим на sin30 и cos30:

sin30 = 1/2 cos30 = √3/2

Подставим значения:

1/2 + (√3/2)*sin(12)*cos(12) - √3/2

Получили окончательное упрощенное выражение:

1/2 + (√3/2)*sin(12)*cos(12) - √3/2

Это является окончательным упрощенным ответом для выражения sin42*cos12 - cos42*sin12 - sin30.