Question

В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна 4 корня из 3, а боковое ребро -5. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды 2) объем пирамиды 3) угол между боковым ребром и плоскостью основания 4) скалярное произведение векторов 0,5( МВ+МС) ЕА, где Е- середина ВС 5) объем вписанного в пирамиду шара 6) угол между стороной основания и плоскостью боковой грани

Answer 1

1) площадь боковой поверхности пирамиды.
Sбок = (1/2)Р*А (Р - периметр основания, А - апофема).
Р = 3*(4√3) = 12√3.
А = √(СМ²-(ВС/2)²) = √(25-12) = √13.
 Sбок = (1/2)*(12√3)*√13 = 6√39.

2) объем пирамиды.
V = (1/3)So*H (So - площадь основания, Н - высота пирамиды).
So = a²√3/4 =  48√3/4 = 12√3.
H = √(5²-((2/3)h)²) = √(25-((2/3)*6)²) = √(25-16) = √9 = 3.
V = (1/3)*(12√3)*3) = 12√3.

3) угол α между боковым ребром и плоскостью основания.
α = arc sin(H/AM) = arc sin (3/5) =  0,643501 радиан = 36,8699°.  

4) скалярное произведение векторов 0,5( МВ+МС) ЕА, где Е- середина ВС - из за большого объёма задания этот вопрос надо рассматривать отдельно.
 
5) объем вписанного в пирамиду шара.
Проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро.
Высота АД основания (она же и медиана, и биссектриса) равна:
АД = a*cos30° = (4√3)*(√3/2) = 6.
Вписанный шар в этом сечении - вписанная окружность в треугольник АМД радиусом R.
R =  (abc)/(4S), где S - сечение треугольника АМД.
S = (1/2)AD*H = (1/2)6*3 = 9.
Тогда R = (5*6*√13)/(4*9) = 5√13/6 ≈  3,004626.
Объём шара Vш = (4/3)πR³ = ((4/3)π*125*13√13)/(3*216) = (π*1625√13)/162 ≈ π* 36,1668.

6) угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.
Для этого надо найти плоский угол между стороной (пусть это АС) и её проекцией на плоскость грани СМВ.
Проекция АС на АМС - это отрезок АК, Точка К лежит на апофеме АД,
Найдём длину АК: 
AK = 2S(AMD)/MД.
S(AMД) = (1/2)АД*Н = (1/2)6*3 = 9.
АК = (2*9)/(√13) = 18/(√13) ≈ 4,992302.
Определим длину отрезка СК:
Для этого надо узнать длину отрезка КД:
КД = √(АД²-АК²) = √(36-(324/13)) = 12/√13 ≈ 3,328201.
Тогда СК = √(СД²+КД²) = √((2√3)²+(144/13)) = 10√3/√13 ≈ 4,803845.

Теперь известны все стороны треугольника АКС, чтобы определить угол АСК, являющийся углом β между стороной АС и плоскостью грани СМВ.
cos β = (AC²+КС²-АК²)/(2*АС*КС) =
 = ((4√3)²+(10√3/√13)²-(18/√13)²)/(2*(4√3)*(10√3/√13)) =
 =  0,693375245.
Отсюда β = 0.804633677 радиан = 46,10211375°.

Answer 2

Площадь боковой поверхности пирамиды

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, нужно найти площадь каждой боковой грани и сложить их.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле: площадь = (периметр основания) * (высота боковой грани) / 2.

В данном случае, сторона основания равна 4 корня из 3, а боковое ребро равно 5.

Периметр основания можно найти, умножив длину стороны основания на количество сторон (в данном случае треугольник, поэтому 3 стороны).

Высоту боковой грани можно найти с помощью теоремы Пифагора, используя длину бокового ребра и половину длины стороны основания.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

площадь = (4 корня из 3) * (5) / 2.

Объем пирамиды

Объем пирамиды можно найти по формуле: объем = (площадь основания) * (высота пирамиды) / 3.

В данном случае, площадь основания можно найти с помощью формулы для площади равностороннего треугольника: площадь = (сторона^2 * √3) / 4.

Высоту пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора, используя длину бокового ребра и половину длины стороны основания.

Таким образом, объем пирамиды равен:

объем = ((4 корня из 3)^2 * √3) / 4 * (высота пирамиды) / 3.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания

Угол между боковым ребром и плоскостью основания можно найти с помощью тригонометрических функций.

В данном случае, известны длина бокового ребра (5) и длина стороны основания (4 корня из 3).

Угол между боковым ребром и плоскостью основания можно найти с помощью формулы: угол = arccos(сторона основания / боковое ребро).

Таким образом, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен:

угол = arccos((4 корня из 3) / 5).

Скалярное произведение векторов 0,5(МВ + МС) и ЕА

Для нахождения скалярного произведения векторов, нужно умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения.

В данном случае, вектор 0,5(МВ + МС) можно представить как сумму векторов 0,5МВ и 0,5МС.

Вектор ЕА можно представить как разность координат точек Е и А.

Таким образом, скалярное произведение векторов 0,5(МВ + МС) и ЕА равно:

скалярное произведение = (координата вектора 0,5МВ * координата вектора ЕА) + (координата вектора 0,5МС * координата вектора ЕА).

Объем вписанного в пирамиду шара

Объем вписанного в пирамиду шара можно найти по формуле: объем = (4/3) * π * (радиус шара)^3.

В данном случае, радиус шара можно найти, используя формулу: радиус шара = (сторона основания) / (2 * √3).

Таким образом, объем вписанного в пирамиду шара равен:

объем = (4/3) * π * ((4 корня из 3) / (2 * √3))^3.

Угол между стороной основания и плоскостью боковой грани

Угол между стороной основания и плоскостью боковой грани можно найти с помощью тригонометрических функций.

В данном случае, известны длина стороны основания (4 корня из 3) и длина бокового ребра (5).

Угол между стороной основания и плоскостью боковой грани можно найти с помощью формулы: угол = arcsin(сторона основания / боковое ребро).

Таким образом, угол между стороной основания и плоскостью боковой грани равен:

угол = arcsin((4 корня из 3) / 5).

Используя данные формулы и значения, можно рассчитать все заданные вопросы.