Question

Решить уравнение log2 (х-5)+log2(х+2)=3

Answer 1

Log2 (х-5)+log2(х+2)=3
log2( (х-5)*(х+2))=3,
(Х-5)>0, (х+2)>0 --> х>5
2^3=(х-5)*(х+2)
8=х^2-3х-10
Х^2-3х-18=0
Д=(-3)^2-4*1*(-18)=9+72=81=9^2
Х1=(3+9)/2=6
Х2=(3-9)/2=-3 - корень не подходит
Ответ:х=6

Answer 2

Log2 (x-5) + log2 (x+2 )= 3
ОДЗ: (x-5)>0 и (x+2)>0
x>5 и x>-2 =>
общее ОДЗ: x>5
log2 {(x-5)*(x+2)} = 3
2^3 = (x-5)(x+2)
x^2 - 5x + 2x - 10 = 8
x^2 - 3x - 18 = 0
x(1,2) = [+3 +- V(3^2 + 4*18)] /2 =
= [+3 +- 9] /2
x1 = (3+9)/2 = 6
x2 = (3-9)/2 = -3 - по ОДЗ не подходит =>
Ответ: x=6

Answer 3

Дано уравнение: $\log_2(x-5) + \log_2(x+2) = 3$.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте поэтапно разберемся.

Шаг 1: Объединение логарифмов

Используя свойство логарифма $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$, мы можем объединить два логарифма в один:

$\log_2((x-5)(x+2)) = 3$

Шаг 2: Применение свойства логарифма

Мы можем переписать уравнение в экспоненциальной форме, используя свойство логарифма $\log_a(b) = c$ эквивалентно $a^c = b$:

$2^3 = (x-5)(x+2)$

$8 = (x-5)(x+2)$

Шаг 3: Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки, упростим и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Приведем уравнение квадратного вида и решим его:

$(x - 5)(x + 2) = 0$

Теперь у нас есть два возможных решения:

1) $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

2) $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Шаг 5: Проверка решений

Проверим оба решения, подставив их в исходное уравнение:

При $x = 5$:

$\log_2(5-5) + \log_2(5+2) = \log_2(2) + \log_2(7) = 1 + \log_2(7) \neq 3$

При $x = -2$:

$\log_2(-2-5) + \log_2(-2+2) = \log_2(-7) + \log_2(0)$

Здесь мы сталкиваемся с проблемой, так как логарифм отрицательного числа и логарифм от нуля не определены в действительных числах. Поэтому $x = -2$ не является допустимым решением.

Ответ

Итак, у нас есть только одно допустимое решение: $x = 5$.