Question

Вопрос на 25+13 баллов: решить дифференциальное уравнение второго порядка y''-y'-2*y=18*x*e^x

Answer 1

$y''-y'-2y=18xe^{x}\\\\1)\; k^2-k-2=0\; ,\; k_1=-1,\; k_2=2\\\\y_{oo}=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}\\\\2)\; Vid\; chastnogo\; resheniya:\; \\\\y_{chastn.resh}=(Ax+B)e^{x}\\\\y'=Ae^{x}+(Ax+B)e^{x}\\\\y''=Ae^{x}+Ae^{x}+(Ax+B)e^{x}=2Ae^{x}+(Ax+B)e^{x}$

$y''-y'-2y=\\\\=2Ae^{x}+(Ax+B)e^{x}-Ae^{x}-(Ax+B)e^{x}-2(Ax+B)e^{x}=\\\\=e^{x}(A-2Ax-2B)=18xe^{x}\\\\x|\, -2A=18\; ,\; A=-9\\\\x^0|\, A-2B=0\; ,\; -9-2B=0\; ,\; B=-4,5\\\\y_{chastn.resh}=(-9x-4,5)e^{x}\\\\3)\; y_{obshee\; resh.neodnorodnogo}=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}-(9x+4,5)e^{x}$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка y''-y'-2*y=18*x*e^x, нужно сначала найти общее решение однородного уравнения y''-y'-2*y=0, а затем найти частное решение неоднородного уравнения с помощью метода вариации постоянных или метода неопределенных коэффициентов. Подробный ход решения можно посмотреть на сайте [Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор](https://mathdf.com/dif/ru/). Ответ: y(x)=C_1*e^x+C_2*e^(-2*x)+9*x*e^x.