Question

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K , длина стороны AC относится к длине стороны AB как 2 : 9 . Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC .

Answer 1

$\frac{AC}{AB}=\frac{2}{9}\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{1}{9}\Rightarrow \frac{MK}{KB}=\frac{1}{9}$
(по свойству биссектрисы)

$\Rightarrow \frac{KB}{MB}=\frac{9}{10}\Rightarrow \frac{S_{KAB}}{S_{MAB}}= \frac{9}{10}\Rightarrow \frac{S_{KAB}}{S_{ABC}}=\frac{9}{20}$

Пояснения. 1) KB/MB=9/10, так как по доказанному в MK 1 часть, а в KB 9 частей, а тогда в MB 10 частей.

2) Если в треугольниках общие высоты, то их площади относятся как основания.

Answer 2

Пусть отношение длины стороны AC к длине стороны AB равно 2:9. Тогда можно записать, что AC = 2x, а AB = 9x, где x - некоторая положительная константа.

Поскольку медиана BM делит сторону AC пополам, то AM = MC = x. Также, поскольку точка K является точкой пересечения медианы BM и биссектрисы AP, то AK = KC.

Треугольники ABK и ABC имеют общую высоту, поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований.

Площадь треугольника ABK равна (1/2) * AB * AK, а площадь треугольника ABC равна (1/2) * AB * AC.

Подставляем значения AB = 9x, AC = 2x, AK = KC = x в формулы для площадей треугольников:

Площадь треугольника ABK = (1/2) * 9x * x = (9/2) * x^2, Площадь треугольника ABC = (1/2) * 9x * 2x = 9x^2.

Отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC равно:

(9/2) * x^2 / 9x^2 = (9/2) / 9 = 1/2.

Таким образом, отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC равно 1:2.