Question

Доказать тождество sin5a-sin3a если sin a=3/√5

Answer 1

Sin5a-sin3a=2sinacos4a=2sinacos(3a+a)=2sina*(4(cos^4a+sin^4a)-3))=
=8sina*(cos^4a+sin^4a)-6sina
cos4a=cos(3a+a)=cos3acosa-sin3asina=cosa(4cos³a-3cosa) -sina(3sina-4sin³a)=
=4coa^4a-3cos²a-3sin²a+4sin^4a=4(cos^4a+sin^4a)-3(sin²a+cos²a)=4(cos^4a+sin^4a)-3

Answer 2

Дано, что \(\sin{a} = \frac{3}{\sqrt{5}}\).

Теперь используем формулу для разности синусов:

\(\sin{(5a)} - \sin{(3a)} = 2\cos{\left(\frac{5a + 3a}{2}\right)}\cdot\sin{\left(\frac{5a - 3a}{2}\right)}\).

Мы знаем значение \(\sin{a} = \frac{3}{\sqrt{5}}\), следовательно, можно найти \(\cos{a}\) с помощью тригонометрической тождества \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\):

\(\cos^2{a} = 1 - \sin^2{a} = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{5} = \frac{5}{5} - \frac{9}{5} = \frac{-4}{5}\).

Поскольку \(\cos{a}\) отрицательный в первом и втором квадрантах, исходя из того, что \(\sin{a} = \frac{3}{\sqrt{5}} > 0\) (значение синуса положительно), возьмем отрицательный корень:

\(\cos{a} = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}\).

Теперь, используя полученные значения \(\sin{a}\) и \(\cos{a}\), вычислим \( \sin{(5a)} \) и \( \sin{(3a)} \):

\(\sin{(5a)} = \sin{(3a + 2a)} = \sin{(3a)}\cos{(2a)} + \cos{(3a)}\sin{(2a)}\).

Используем тригонометрические формулы для \(\sin{(3a)}\) и \(\cos{(2a)}\):

\(\sin{(3a)} = 3\sin{a} - 4\sin^3{a} = 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} - 4 \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{9\sqrt{5}}{5} - \frac{108}{5\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5} - \frac{108}{5\sqrt{5}}\),

\(\cos{(2a)} = 2\cos^2{a} - 1 = 2\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 - 1 = 2\cdot\frac{4}{5} - 1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{8 - 5}{5} = \frac{3}{5}\).

Теперь вычислим \(\sin{(5a)}\):

\(\sin{(5a)} = \sin{(3a)}\cos{(2a)} + \cos{(3a)}\sin{(2a)} = \left(\frac{9\sqrt{5}}{5} - \frac{108}{5\sqrt{5}}\right) \cdot \frac{3}{5} + \frac{9\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{27\sqrt{5}}{25} - \frac{324}{25\sqrt{5}} + \frac{27\sqrt{5}}{5} = \frac{27\sqrt{5}}{25} + \frac{27\sqrt{5}}{5} - \frac{324}{25\sqrt{5}}\).

Теперь вычислим \(\sin{(3a)}\):

\(\sin{(3a)} = \frac{9\sqrt{5}}{5} - \frac{108}{5\sqrt{5}}\).

Таким образом, \(\sin{(5a)} - \sin{(3a)} = \left(\frac{27\sqrt{5}}{25} + \frac{27\sqrt{5}}{5} - \frac{324}{25\sqrt{5}}\right) - \left(\frac{9\sqrt{5}}{5} - \frac{108}{5\sqrt{5}}\right)\).

После вычислений:

\(\sin{(5a)} - \sin{(3a)} = \frac{27\sqrt{5}}{25} + \frac{27\sqrt{5}}{5} - \frac{324}{25\sqrt{5}} - \frac{9\sqrt{5}}{5} + \frac{108}{5\sqrt{5}} = \frac{27\sqrt{5}}{5} - \frac{9\sqrt{5}}{5} = \frac{18\sqrt{5}}{5}\).

Таким образом, мы доказали, что \(\sin{(5a)} - \sin{(3a)} = \frac{18\sqrt{5}}{5}\).