Question

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 4, а сторона BC равна 3. Из точки S, не лежащей в плоскости параллелограмма, проведены наклонные SA, SB, SC, SD, причем SA=4, SB=4√2, SD=5, SC=√41. Докажите, что прямые AD и AB перпендикулярны.

Answer 1

Применены : теорема Пифагора и обратная теорема Пифагора, признак перпендикулярности прямой к плоскости и свойство прямой, перпендикулярной к плоскости. 

Answer 2

Для доказательства того, что прямые AD и AB перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны. 2. Противоположные углы параллелограмма равны. 3. Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Доказательство

Для начала, обратимся к свойству 3. Диагонали параллелограмма делятся пополам. Отметим точку пересечения диагоналей как точку O.

Поскольку SA = 4, SB = 4√2 и SD = 5, а диагонали делятся пополам, то AO = 2 и DO = 2. Таким образом, AD = AO + DO = 2 + 2 = 4.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что AB = 4 и BD = 3 (так как сторона AB равна 4, а сторона BC равна 3). Также мы знаем, что AO = 2 и DO = 2 (как мы только что доказали).

Теперь, используем свойство 1 параллелограмма. Противоположные стороны параллелограмма равны. Таким образом, AB = DC и AD = BC.

Теперь мы можем сравнить треугольники ABD и BCD. У них есть одна общая сторона BD, которая равна 3. У них также есть общая сторона AD, которая равна 4, и общая сторона AB (так как AB = DC), которая также равна 4. Кроме того, мы знаем, что AO = 2, DO = 2 и BC = AD.

Таким образом, у треугольников ABD и BCD у нас есть:

AB = DC = 4 BD = 3 AD = BC AO = DO = 2

Теперь рассмотрим треугольник ADO. Он является прямоугольным треугольником, так как AO = DO = 2 и AD = 4. Таким образом, угол AOD является прямым углом.

Но угол AOD также является углом между прямыми AD и AB, так как точка O является точкой пересечения этих прямых.

Итак, мы доказали, что угол AOD является прямым углом. Это означает, что прямые AD и AB перпендикулярны.

Ответ

Таким образом, доказано, что прямые AD и AB перпендикулярны в параллелограмме ABCD.